Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, thầy sẽ cùng các em giải quyết hai bài toán khá thú vị về phương trình nghiệm nguyên. Chúng ta bắt đầu nhé!

Bài 37. Tìm các số tự nhiên \(x,y\) thỏa mãn

\[
(1+x^2)(1+y^2)+4xy+2(x+y)(1+xy)=25.
\]

Phân tích bài toán:

Đây là một phương trình đối xứng với hai biến \(x, y\). Chúng ta cần tìm các cặp số tự nhiên \(x, y\) thỏa mãn phương trình này.

Lời giải chi tiết:

Ta có phương trình:

\[
(1+x^2)(1+y^2)+4xy+2(x+y)(1+xy)=25
\]

Nhân \( (1+x^2)(1+y^2) \) ra, ta được:

\[
1 + y^2 + x^2 + x^2y^2 + 4xy + 2(x + xy^2 + y + x^2y) = 25
\]

Sắp xếp lại các hạng tử:

\[
x^2y^2 + x^2 + y^2 + 4xy + 2xy^2 + 2x + 2x^2y + 2y = 25
\]

Ta nhận thấy một số hạng tử có thể gom lại. Hãy thử nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\):

\[
(x^2y^2 + 2x^2y + x^2) + (2xy^2 + y^2 + 2y) + 4xy + 2x = 25
\]

Quan sát kỹ, ta có thể nhận ra một số biểu thức bình phương. Hãy thử biến đổi để xuất hiện các biểu thức đẹp hơn.

Xét biểu thức \( (1+xy+x+y)^2 \):

\[
(1+xy+x+y)^2 = ((1+x)+y(1+x))^2 = ((1+x)(1+y))^2 = (1+y+x+xy)^2
\]

Khai triển ra:

\[
(1+xy+x+y)^2 = 1 + (xy)^2 + x^2 + y^2 + 2xy + 2x + 2y + 2x^2y + 2xy^2 + 2xy
\]

\[
(1+xy+x+y)^2 = x^2y^2 + x^2 + y^2 + 2x^2y + 2xy^2 + 4xy + 2x + 2y + 1
\]

So sánh với phương trình ban đầu:

\[
x^2y^2 + x^2 + y^2 + 4xy + 2x^2y + 2xy^2 + 2x + 2y + 1 = 25
\]

Ta thấy rằng vế trái của phương trình chính là khai triển của \( (1+xy+x+y)^2 \).

Do đó, phương trình trở thành:

\[
(1+xy+x+y)^2 = 25
\]

Lấy căn bậc hai hai vế, ta có:

\[
1+xy+x+y = \pm 5
\]

Trường hợp 1: \( 1+xy+x+y = 5 \)

\[
xy+x+y = 4
\]

Cộng 1 vào hai vế để nhóm nhân tử:

\[
xy+x+y+1 = 5
\]

\[
x(y+1) + (y+1) = 5
\]

\[
(x+1)(y+1) = 5
\]

Vì \(x, y\) là các số tự nhiên, nên \(x+1\) và \(y+1\) là các số nguyên dương. Các cặp nhân tử của 5 là \((1, 5)\) và \((5, 1)\).

Nếu \(x+1 = 1\) và \(y+1 = 5\), suy ra \(x=0\) và \(y=4\). Cặp \((0, 4)\) thỏa mãn là số tự nhiên.

Nếu \(x+1 = 5\) và \(y+1 = 1\), suy ra \(x=4\) và \(y=0\). Cặp \((4, 0)\) thỏa mãn là số tự nhiên.

Trường hợp 2: \( 1+xy+x+y = -5 \)

\[
xy+x+y = -6
\]

Cộng 1 vào hai vế:

\[
xy+x+y+1 = -5
\]

\[
(x+1)(y+1) = -5
\]

Vì \(x, y\) là các số tự nhiên, \(x \ge 0\) và \(y \ge 0\), nên \(x+1 \ge 1\) và \(y+1 \ge 1\). Do đó, \((x+1)(y+1)\) phải là một số nguyên dương. Vế phải là \(-5\) (số âm), nên trường hợp này không có nghiệm số tự nhiên.

Kết luận:

Các cặp số tự nhiên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình là \((0, 4)\) và \((4, 0)\).

Bài 38. Cho \(x,y,z\) là các số nguyên dương thỏa mãn

\[
x^2+y^2+z^2+2xy+2x(z-1)+2y(z+1)
\]

là số chính phương. Chứng minh \(x=y\)..

Phân tích bài toán:

Chúng ta có một biểu thức đa biến, và biết rằng nó là một số chính phương. Chúng ta cần chứng minh mối quan hệ \(x=y\) giữa hai biến. Đây là một bài toán đòi hỏi sự khéo léo trong việc biến đổi biểu thức và sử dụng tính chất của số chính phương.

Lời giải chi tiết:

Đặt biểu thức đã cho là \(A\). Ta có:

\[
A = x^2+y^2+z^2+2xy+2x(z-1)+2y(z+1)
\]

Nhân phá các ngoặc và sắp xếp lại các hạng tử:

\[
A = x^2+y^2+z^2+2xy+2xz-2x+2yz+2y
\]

Nhóm các hạng tử lại để tìm kiếm các hằng đẳng thức:

Nhận thấy \(x^2+y^2+2xy = (x+y)^2\).

\[
A = (x+y)^2 + z^2 + 2xz – 2x + 2yz + 2y
\]

Bây giờ, ta thử nhóm các hạng tử liên quan đến \(z\):

\[
A = (x+y)^2 + z^2 + 2z(x+y) – 2x + 2y
\]

Ta thấy \( (x+y)^2 + 2z(x+y) + z^2 = (x+y+z)^2 \).

Do đó,

\[
A = (x+y+z)^2 – 2x + 2y
\]

Theo đề bài, \(A\) là một số chính phương. Đặt \(A = k^2\) với \(k\) là một số nguyên không âm.

\[
(x+y+z)^2 – 2x + 2y = k^2
\]

Ta có thể viết lại phương trình này như sau:

\[
k^2 = (x+y+z)^2 + 2(y-x)
\]

Vì \(x, y, z\) là các số nguyên dương, nên \(x+y+z\) là một số nguyên dương.

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(y-x \ge 0\) (tức là \(y \ge x\))

Khi đó, \(2(y-x) \ge 0\).

Ta có \(k^2 = (x+y+z)^2 + 2(y-x)\).
Vì \(2(y-x) \ge 0\), nên \(k^2 \ge (x+y+z)^2\).
Suy ra \(k \ge x+y+z\) (vì \(k\) và \(x+y+z\) đều không âm).

Đặt \(k = x+y+z + m\), với \(m\) là một số nguyên không âm.

Thay vào phương trình \(k^2 = (x+y+z)^2 + 2(y-x)\):

\[
(x+y+z+m)^2 = (x+y+z)^2 + 2(y-x)
\]

Khai triển vế trái:

\[
(x+y+z)^2 + 2m(x+y+z) + m^2 = (x+y+z)^2 + 2(y-x)
\]

Rút gọn \( (x+y+z)^2 \) ở hai vế:

\[
2m(x+y+z) + m^2 = 2(y-x)
\]

Vì \(m \ge 0\) và \(x+y+z > 0\), nên vế trái \( 2m(x+y+z) + m^2 \ge 0 \).

Do đó, \( 2(y-x) \ge 0 \), điều này phù hợp với giả thiết của trường hợp này (\(y \ge x\)).

Nếu \(m=0\), thì \(k = x+y+z\). Phương trình trở thành:

\[
0 = 2(y-x)
\]

\[
y-x = 0
\]

\[
y = x
\]

Nếu \(m > 0\), tức là \(m \ge 1\).

Ta có \( 2m(x+y+z) + m^2 = 2(y-x) \).

Vì \(m \ge 1\) và \(x+y+z \ge 1+1+1 = 3\), nên \( 2m(x+y+z) \ge 2 \times 1 \times 3 = 6 \).

Và \( m^2 \ge 1^2 = 1 \).

Do đó, vế trái \( 2m(x+y+z) + m^2 \ge 6 + 1 = 7 \).

Ta có \( 2(y-x) = 2m(x+y+z) + m^2 \ge 7 \).

Điều này có nghĩa là \( y-x \ge 3.5 \). Vì \(x, y\) là số nguyên, nên \(y-x \ge 4\).

Tuy nhiên, ta cần xem xét liệu \(m\) có thể lớn hơn 0 hay không.

Từ phương trình \( 2m(x+y+z) + m^2 = 2(y-x) \), ta có:

\[
2(y-x) – m^2 = 2m(x+y+z)
\]

Do vế phải là một số chẵn, nên vế trái \( 2(y-x) – m^2 \) cũng phải là số chẵn.

Nếu \(m\) là số lẻ, thì \(m^2\) là số lẻ. Khi đó, \( 2(y-x) \) phải là số lẻ để \( 2(y-x) – m^2 \) là chẵn, điều này vô lý vì \( 2(y-x) \) luôn chẵn.

Do đó, \(m\) phải là một số chẵn. Đặt \(m = 2p\) với \(p\) là số nguyên dương.

Khi đó \(m \ge 2\).

Phương trình trở thành:

\[
2(2p)(x+y+z) + (2p)^2 = 2(y-x)
\]

\[
4p(x+y+z) + 4p^2 = 2(y-x)
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
2p(x+y+z) + 2p^2 = y-x
\]

Vì \(p \ge 1\) và \(x+y+z \ge 3\), nên \( 2p(x+y+z) \ge 2 \times 1 \times 3 = 6 \).

Và \( 2p^2 \ge 2 \times 1^2 = 2 \).

Do đó, vế trái \( 2p(x+y+z) + 2p^2 \ge 6 + 2 = 8 \).

Suy ra \( y-x \ge 8 \).

Tuy nhiên, chúng ta quay lại phương trình \(k^2 = (x+y+z)^2 + 2(y-x)\).

Ta có \( k > x+y+z \). Hãy thử xem xét giá trị có thể của \(k\).

Nếu \( k = x+y+z+1 \), thì \( (x+y+z+1)^2 = (x+y+z)^2 + 2(y-x) \).

\[
(x+y+z)^2 + 2(x+y+z) + 1 = (x+y+z)^2 + 2(y-x)
\]

\[
2(x+y+z) + 1 = 2(y-x)
\]

\[
2x + 2y + 2z + 1 = 2y – 2x
\]

\[
4x + 2z + 1 = 0
\]

Vì \(x\) và \(z\) là các số nguyên dương, \(4x+2z+1\) luôn dương, nên phương trình này vô nghiệm.

Nếu \( k = x+y+z+m \) với \(m \ge 1\), ta có \( 2m(x+y+z) + m^2 = 2(y-x) \).

Xét \( y-x \). Ta biết \( y \ge x \).

Nếu \(y-x = 0\), tức là \(y=x\). Thì \(m^2 = 0\), suy ra \(m=0\). Điều này quay lại trường hợp \(k = x+y+z\).

Nếu \(y-x > 0\), thì \(2(y-x) > 0\).

Ta có \( (x+y+z)^2 < k^2 \). Do đó \( k \ge x+y+z+1 \).

Vì \(x,y,z\) là số nguyên dương, nên \(x+y+z \ge 3\).

Và \(k^2 = (x+y+z)^2 + 2(y-x)\).

Chúng ta có \(k^2\) là một số chính phương.

Ta biết \( (x+y+z)^2 < k^2 \).

Hãy xem xét số chính phương tiếp theo sau \( (x+y+z)^2 \), đó là \( (x+y+z+1)^2 \).

Nếu \( k^2 = (x+y+z+1)^2 \), thì \( (x+y+z)^2 + 2(y-x) = (x+y+z)^2 + 2(x+y+z) + 1 \).

\[
2(y-x) = 2(x+y+z) + 1
\]

\[
2y – 2x = 2x + 2y + 2z + 1
\]

\[
0 = 4x + 2z + 1
\]

Vô nghiệm vì \(x, z > 0\).

Vậy \(k^2\) không thể là \( (x+y+z+1)^2 \) khi \(y-x > 0\).

Điều này có nghĩa là nếu \(y-x > 0\), thì \(k^2\) nằm giữa hai số chính phương liên tiếp \( (x+y+z)^2 \) và \( (x+y+z+1)^2 \), điều này là không thể.

Do đó, trường hợp \(y-x > 0\) không thể xảy ra.

Suy ra, \(y-x\) phải bằng 0.

Trường hợp 2: \(y-x < 0\) (tức là \(y < x\))

Khi đó, \(2(y-x) < 0\).

Ta có \(k^2 = (x+y+z)^2 + 2(y-x)\).

Vì \(2(y-x) < 0\), nên \(k^2 < (x+y+z)^2\).

Suy ra \(k < x+y+z\).

Đặt \(x+y+z = k + m\), với \(m\) là một số nguyên dương.

Ta có \( k = x+y+z-m \).

Thay vào phương trình \(k^2 = (x+y+z)^2 + 2(y-x)\):

\[
(x+y+z-m)^2 = (x+y+z)^2 + 2(y-x)
\]

Khai triển vế trái:

\[
(x+y+z)^2 – 2m(x+y+z) + m^2 = (x+y+z)^2 + 2(y-x)
\]

Rút gọn \( (x+y+z)^2 \) ở hai vế:

\[
-2m(x+y+z) + m^2 = 2(y-x)
\]

\[
m^2 – 2(y-x) = 2m(x+y+z)
\]

Vì \(m \ge 1\) và \(x+y+z \ge 3\), nên vế phải \( 2m(x+y+z) \ge 2 \times 1 \times 3 = 6 \).

Do đó, \( m^2 – 2(y-x) \ge 6 \).

Ta có \( y < x \), nên \( y-x < 0 \).

Vì \(y-x\) là một số nguyên âm, ta có thể viết \(y-x = -d\) với \(d\) là số nguyên dương.

Phương trình trở thành:

\[
m^2 – 2(-d) = 2m(x+y+z)
\]

\[
m^2 + 2d = 2m(x+y+z)
\]

Vì \(d = x-y > 0\), nên \(2d > 0\).

Vế trái \( m^2 + 2d \ge 1^2 + 2 \times 1 = 3 \) (vì \(m \ge 1\), \(d \ge 1\)).

Vế phải \( 2m(x+y+z) \ge 2 \times 1 \times (1+1+1) = 6 \).

Xét \(k^2 = (x+y+z)^2 + 2(y-x)\).

Vì \(y

Do đó \( k^2 \le (x+y+z)^2 – 2 \).

Số chính phương \( k^2 \) phải nhỏ hơn \( (x+y+z)^2 \).

Số chính phương lớn nhất nhỏ hơn \( (x+y+z)^2 \) là \( (x+y+z-1)^2 \).

Nếu \( k^2 = (x+y+z-1)^2 \), thì \( (x+y+z)^2 + 2(y-x) = (x+y+z-1)^2 \).

\[
(x+y+z)^2 + 2(y-x) = (x+y+z)^2 – 2(x+y+z) + 1
\]

\[
2(y-x) = -2(x+y+z) + 1
\]

\[
2y – 2x = -2x – 2y – 2z + 1
\]

\[
4y + 2z = 1
\]

Vì \(y, z\) là các số nguyên dương, \(4y+2z\) luôn lớn hơn hoặc bằng \(4(1)+2(1)=6\). Do đó, phương trình này vô nghiệm.

Nếu \(k^2\) nhỏ hơn \( (x+y+z-1)^2 \), thì khoảng cách giữa \(k^2\) và \( (x+y+z)^2 \) càng lớn.

Chúng ta có \( 2(y-x) = m^2 – 2m(x+y+z) \).

Vì \(y-x < 0\), nên \( m^2 - 2m(x+y+z) < 0 \).

\[
m^2 < 2m(x+y+z) \]

Chia cả hai vế cho \(m\) (vì \(m>0\)):

\[
m < 2(x+y+z) \]

Mặt khác, ta có \( 2(y-x) = m^2 – 2m(x+y+z) \).

Vì \(y-x\) là số âm, và \(m^2\) là số dương, \( -2m(x+y+z) \) là số âm.

Hãy xem xét lại \( m^2 + 2d = 2m(x+y+z) \).

Vì \(m \ge 1\) và \(d = x-y \ge 1\), ta có \( m^2 \ge 1 \) và \( 2d \ge 2 \).

Vế trái \( m^2 + 2d \ge 1 + 2 = 3 \).

Vế phải \( 2m(x+y+z) \ge 2 \times 1 \times 3 = 6 \).

Nếu \( m=1 \), \( 1 + 2d = 2(x+y+z) \).

Do vế phải là số chẵn, nên \( 1+2d \) phải là số chẵn, điều này vô lý vì \( 1+2d \) luôn lẻ.

Vậy \(m\) không thể bằng 1.

Nếu \(m\) là số chẵn, \(m \ge 2\). \( m^2 \) là số chẵn. \( 2d \) là số chẵn. Vậy \( m^2+2d \) là số chẵn.

Vế phải \( 2m(x+y+z) \) cũng là số chẵn. Trường hợp này có thể xảy ra.

Tuy nhiên, chúng ta đã chứng minh ở trường hợp 1 rằng \( y-x \) không thể âm.

Quay lại phương trình \( k^2 = (x+y+z)^2 + 2(y-x) \).

Nếu \(y < x\), thì \(y-x\) là một số nguyên âm.

Đặt \(y-x = -d\) với \(d > 0\).

Ta có \( k^2 = (x+y+z)^2 – 2d \).

Vì \(d \ge 1\), \(k^2 \le (x+y+z)^2 – 2\).

Điều này có nghĩa là \(k^2\) là một số chính phương nhỏ hơn \( (x+y+z)^2 \).

Số chính phương lớn nhất nhỏ hơn \( (x+y+z)^2 \) là \( (x+y+z-1)^2 \).

Nếu \( k^2 = (x+y+z-1)^2 \), thì \( (x+y+z)^2 – 2d = (x+y+z-1)^2 = (x+y+z)^2 – 2(x+y+z) + 1 \).

\[
-2d = -2(x+y+z) + 1
\]

\[
2(x+y+z) – 1 = 2d
\]

\[
2x + 2y + 2z – 1 = 2d
\]

Vế trái là một số lẻ, vế phải là một số chẵn. Phương trình này vô nghiệm.

Do đó, không thể có \(y < x\).

Kết luận:

Từ hai trường hợp trên, ta thấy rằng trường hợp duy nhất có thể xảy ra là \(y-x = 0\), tức là \(y=x\).

Vậy ta đã chứng minh được \(x=y\).