Chào các em học sinh, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải hai bài toán tìm nghiệm nguyên, nghiệm nguyên dương. Đây là dạng bài khá thú vị và đòi hỏi sự linh hoạt trong biến đổi đại số.

Bài 35. Tìm \(x,y\) nguyên sao cho \(3x^2+8x+29=y(2x+y)\).

Phân tích:

Phương trình đã cho có dạng chứa cả \(x\) và \(y\). Chúng ta sẽ cố gắng biến đổi nó về dạng tích hoặc dạng tổng các bình phương để dễ dàng tìm nghiệm nguyên.

Lời giải:

Ta có phương trình:

\[ 3x^2+8x+29=y(2x+y) \]

Khai triển vế phải, ta được:

\[ 3x^2+8x+29=2xy+y^2 \]

Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái và sắp xếp lại theo \(y\) hoặc \(x\):

\[ y^2+2xy-3x^2-8x-29=0 \]

Để tạo thành một bình phương với \(y\), ta nhận thấy có hạng tử \(y^2+2xy\). Chúng ta có thể thêm \(x^2\) vào để tạo thành \((y+x)^2\). Để phương trình không đổi, ta phải trừ đi \(x^2\):

\[ (y^2+2xy+x^2) – x^2 – 3x^2 – 8x – 29 = 0 \]

\[ (y+x)^2 – 4x^2 – 8x – 29 = 0 \]

Chuyển các hạng tử còn lại sang vế phải:

\[ (y+x)^2 = 4x^2+8x+29 \]

Vế phải là một tam thức bậc hai theo \(x\). Ta tiếp tục biến đổi vế phải để đưa nó về dạng bình phương cộng với một hằng số:

\[ 4x^2+8x+29 = (2x)^2+2 \cdot (2x) \cdot 2 + 2^2 – 2^2 + 29 \]

\[ = (2x+2)^2 – 4 + 29 \]

\[ = (2x+2)^2 + 25 \]

Vậy, phương trình trở thành:

\[ (y+x)^2 = (2x+2)^2 + 25 \]

Chuyển \((2x+2)^2\) sang vế trái:

\[ (y+x)^2 – (2x+2)^2 = 25 \]

Đây là dạng hiệu hai bình phương \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\), với \(A = y+x\) và \(B = 2x+2\).

\[ ((y+x) – (2x+2))((y+x) + (2x+2)) = 25 \]

\[ (y-x-2)(y+3x+2) = 25 \]

Vì \(x,y\) là các số nguyên, nên \(y-x-2\) và \(y+3x+2\) cũng là các số nguyên. Tích của chúng bằng 25. Các cặp số nguyên có tích bằng 25 là:

• (1, 25)
• (5, 5)
• (25, 1)
• (-1, -25)
• (-5, -5)
• (-25, -1)

Ta đặt \(a = y-x-2\) và \(b = y+3x+2\). Ta có hệ phương trình sau cho mỗi cặp giá trị của \(a\) và \(b\):

\[ \begin{cases} y-x-2 = a \\ y+3x+2 = b \end{cases} \]

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai:

\[ (y+3x+2) – (y-x-2) = b – a \]

\[ 4x+4 = b-a \]

\[ 4(x+1) = b-a \Rightarrow x+1 = \frac{b-a}{4} \Rightarrow x = \frac{b-a}{4} – 1 \]

Để \(x\) là số nguyên, \((b-a)\) phải chia hết cho 4.

Cộng hai phương trình:

\[ (y-x-2) + (y+3x+2) = a+b \]

\[ 2y+2x = a+b \]

\[ y = \frac{a+b-2x}{2} \]

Bây giờ, ta xét từng trường hợp:

Trường hợp 1: \(a=1, b=25\)

\[ x = \frac{25-1}{4} – 1 = \frac{24}{4} – 1 = 6-1 = 5 \]

\[ y = \frac{1+25-2(5)}{2} = \frac{26-10}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

Ta được nghiệm \((x,y) = (5,8)\).

Trường hợp 2: \(a=5, b=5\)

\[ x = \frac{5-5}{4} – 1 = 0-1 = -1 \]

\[ y = \frac{5+5-2(-1)}{2} = \frac{10+2}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Ta được nghiệm \((x,y) = (-1,6)\).

Trường hợp 3: \(a=25, b=1\)

\[ x = \frac{1-25}{4} – 1 = \frac{-24}{4} – 1 = -6-1 = -7 \]

\[ y = \frac{25+1-2(-7)}{2} = \frac{26+14}{2} = \frac{40}{2} = 20 \]

Ta được nghiệm \((x,y) = (-7,20)\).

Trường hợp 4: \(a=-1, b=-25\)

\[ x = \frac{-25-(-1)}{4} – 1 = \frac{-24}{4} – 1 = -6-1 = -7 \]

\[ y = \frac{-1+(-25)-2(-7)}{2} = \frac{-26+14}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

Ta được nghiệm \((x,y) = (-7,-6)\).

Trường hợp 5: \(a=-5, b=-5\)

\[ x = \frac{-5-(-5)}{4} – 1 = 0-1 = -1 \]

\[ y = \frac{-5+(-5)-2(-1)}{2} = \frac{-10+2}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Ta được nghiệm \((x,y) = (-1,-4)\).

Trường hợp 6: \(a=-25, b=-1\)

\[ x = \frac{-1-(-25)}{4} – 1 = \frac{24}{4} – 1 = 6-1 = 5 \]

\[ y = \frac{-25+(-1)-2(5)}{2} = \frac{-26-10}{2} = \frac{-36}{2} = -18 \]

Ta được nghiệm \((x,y) = (5,-18)\).

Kết luận:

Vậy, các cặp số nguyên \((x,y)\) thỏa mãn phương trình là:

\[ (5,8), (-1,6), (-7,20), (-7,-6), (-1,-4), (5,-18) \]

Bài 36. Tìm \(x,y\) nguyên dương thỏa mãn \(x^2y^2-16xy+99=9x^2+36y^2+13x+26y\).

Phân tích:

Phương trình này có nhiều hạng tử bậc cao và hỗn hợp. Mục tiêu là biến đổi phương trình về dạng dễ xử lý hơn, thường là một bình phương hoặc tích các thừa số. Hạng tử \(x^2y^2-9x^2-36y^2\) gợi ý về việc thêm một hằng số để tạo ra dạng \((x^2-A)(y^2-B)\).

Lời giải:

Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái:

\[ x^2y^2 – 9x^2 – 36y^2 – 16xy – 13x – 26y + 99 = 0 \]

Ta nhận thấy rằng \(x^2y^2 – 9x^2 – 36y^2 = x^2(y^2-9) – 36y^2\). Để có thể phân tích thành nhân tử \((x^2-A)(y^2-B)\), ta cần thêm hạng tử \(-36(-9) = +324\).
Vì vậy, ta cộng và trừ 324 vào phương trình:

\[ (x^2y^2 – 9x^2 – 36y^2 + 324) – 16xy – 13x – 26y + 99 – 324 = 0 \]

Phần trong ngoặc có thể phân tích thành \((x^2-36)(y^2-9)\):

\[ (x^2-36)(y^2-9) – 16xy – 13x – 26y – 225 = 0 \]

\[ (x^2-36)(y^2-9) = 16xy + 13x + 26y + 225 \quad (*) \]

Vì \(x,y\) là các số nguyên dương, vế phải \(16xy + 13x + 26y + 225\) luôn dương.

Do đó, vế trái \((x^2-36)(y^2-9)\) cũng phải dương. Điều này dẫn đến hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(x^2-36 > 0\) và \(y^2-9 > 0\).

Điều này có nghĩa là \(x^2 > 36 \Rightarrow x \ge 7\) (vì \(x\) nguyên dương) và \(y^2 > 9 \Rightarrow y \ge 4\) (vì \(y\) nguyên dương).

Trường hợp 2: \(x^2-36 < 0\) và \(y^2-9 < 0\).

Điều này có nghĩa là \(x^2 < 36 \Rightarrow x \le 5\) (vì \(x\) nguyên dương) và \(y^2 < 9 \Rightarrow y \le 2\) (vì \(y\) nguyên dương).

Bây giờ ta sẽ xét các trường hợp cụ thể.

Xét Trường hợp 2: \(x \le 5\) và \(y \le 2\).

Vì \(x,y\) là số nguyên dương, nên \(x \in \{1,2,3,4,5\}\) và \(y \in \{1,2\}\).

Phương trình đã cho có thể viết lại dưới dạng phương trình bậc hai theo \(y\):

\[ y^2(x^2-36) – y(16x+26) – (9x^2+13x-99) = 0 \quad (**)\quad \]

Để \(y\) là số nguyên, biệt thức \(\Delta_y\) của phương trình bậc hai này phải là một số chính phương.

Nếu \(y=1\):

Thay \(y=1\) vào phương trình \((**)\):

\[ 1^2(x^2-36) – 1(16x+26) – (9x^2+13x-99) = 0 \]

\[ x^2-36 – 16x-26 – 9x^2-13x+99 = 0 \]

\[ -8x^2 – 29x + 37 = 0 \]

\[ 8x^2 + 29x – 37 = 0 \]

Tính biệt thức \(\Delta = 29^2 – 4(8)(-37) = 841 + 1184 = 2025 = 45^2\).

Các nghiệm của \(x\) là:

\[ x = \frac{-29 \pm 45}{16} \]

\[ x_1 = \frac{-29+45}{16} = \frac{16}{16} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-29-45}{16} = \frac{-74}{16} \] (không phải số nguyên)

Vậy, ta tìm được một nghiệm nguyên dương: \((x,y) = (1,1)\).

Kiểm tra lại \((1,1)\) với phương trình ban đầu:

Vế trái: \(1^2 \cdot 1^2 – 16 \cdot 1 \cdot 1 + 99 = 1 – 16 + 99 = 84\).

Vế phải: \(9 \cdot 1^2 + 36 \cdot 1^2 + 13 \cdot 1 + 26 \cdot 1 = 9 + 36 + 13 + 26 = 84\).

Vậy \((1,1)\) là một nghiệm nguyên dương của phương trình.

Nếu \(y=2\):

Thay \(y=2\) vào phương trình \((**)\):

\[ 2^2(x^2-36) – 2(16x+26) – (9x^2+13x-99) = 0 \]

\[ 4(x^2-36) – (32x+52) – (9x^2+13x-99) = 0 \]

\[ 4x^2-144 – 32x-52 – 9x^2-13x+99 = 0 \]

\[ -5x^2 – 45x – 97 = 0 \]

\[ 5x^2 + 45x + 97 = 0 \]

Tính biệt thức \(\Delta = 45^2 – 4(5)(97) = 2025 – 1940 = 85\).

Vì \(\Delta = 85\) không phải là số chính phương, phương trình không có nghiệm nguyên \(x\). Vậy không có nghiệm nào khi \(y=2\).

Các giá trị \(x \in \{2,3,4,5\}\) khi \(y=1\) cũng đã được kiểm tra (vì ta đã giải phương trình bậc hai theo \(x\)). Chỉ có \(x=1\) là thỏa mãn.

Xét Trường hợp 1: \(x \ge 7\) và \(y \ge 4\).

Để \(y\) là số nguyên, biệt thức \(\Delta_y\) của phương trình \((**)\) theo \(y\) phải là số chính phương.

\[ \Delta_y = (-(16x+26))^2 – 4(x^2-36)(-(9x^2+13x-99)) \]

\[ \Delta_y = (16x+26)^2 + 4(x^2-36)(9x^2+13x-99) \]

\[ \Delta_y = (256x^2 + 832x + 676) + 4(9x^4 + 13x^3 – 99x^2 – 324x^2 – 468x + 3564) \]

\[ \Delta_y = 256x^2 + 832x + 676 + 36x^4 + 52x^3 – 1296x^2 – 1872x + 14256 \]

\[ \Delta_y = 36x^4 + 52x^3 – 1040x^2 – 1040x + 14932 \]

Ta cần \(\Delta_y\) là một số chính phương. Khi \(x\) đủ lớn, \(\Delta_y\) xấp xỉ \((6x^2)^2\).

Hãy so sánh \(\Delta_y\) với các bình phương của các biểu thức dạng \((6x^2+Ax+B)\):

Xét \((6x^2+4x)^2 = 36x^4 + 48x^3 + 16x^2\).

Ta có:

\[ \Delta_y – (6x^2+4x)^2 = (36x^4 + 52x^3 – 1040x^2 – 1040x + 14932) – (36x^4 + 48x^3 + 16x^2) \]

\[ = 4x^3 – 1056x^2 – 1040x + 14932 \]

Đặt \(P(x) = 4x^3 – 1056x^2 – 1040x + 14932\).

Khi \(x\) lớn, hạng tử \(4x^3\) sẽ bị lấn át bởi \(-1056x^2\), nên \(P(x)\) sẽ âm.

Kiểm tra các giá trị của \(x \ge 7\):

Nếu \(x=7\): \(P(7) = 4(7^3) – 1056(7^2) – 1040(7) + 14932 = 4(343) – 1056(49) – 7280 + 14932 = 1372 – 51744 – 7280 + 14932 = -42720\).

Vì \(P(7) < 0\), ta có \(\Delta_y < (6x^2+4x)^2\) cho \(x=7\).

Hơn nữa, nếu \(x \ge 7\), thì \(P(x)\) sẽ càng âm hơn (vì hạng tử âm bậc cao hơn).

Bây giờ, ta xét \((6x^2+4x-1)^2 = (36x^4 + 48x^3 + 16x^2) – 2(6x^2+4x) + 1 = 36x^4 + 48x^3 + 16x^2 – 12x^2 – 8x + 1 = 36x^4 + 48x^3 + 4x^2 – 8x + 1\).

So sánh \(\Delta_y\) với \((6x^2+4x-1)^2\):

\[ \Delta_y – (6x^2+4x-1)^2 = (36x^4 + 52x^3 – 1040x^2 – 1040x + 14932) – (36x^4 + 48x^3 + 4x^2 – 8x + 1) \]

\[ = 4x^3 – 1044x^2 – 1032x + 14931 \]

Đặt \(Q(x) = 4x^3 – 1044x^2 – 1032x + 14931\).

Với \(x=7\): \(Q(7) = 4(7^3) – 1044(7^2) – 1032(7) + 14931 = 1372 – 51156 – 7224 + 14931 = -42077\).

Vì \(Q(7) < 0\), ta có \(\Delta_y < (6x^2+4x-1)^2\) cho \(x=7\).

Khi \(x \ge 7\), cả \(P(x)\) và \(Q(x)\) đều âm. Do đó, với \(x \ge 7\), ta có:

\[ \Delta_y < (6x^2+4x-1)^2 \]

Và \( (6x^2+4x-1)^2 \) thì nhỏ hơn \( (6x^2+4x)^2 \).

Điều này có nghĩa là \(\Delta_y\) nằm giữa hai số chính phương liên tiếp: \((6x^2+4x-1)^2\) và \((6x^2+4x)^2\), hoặc nhỏ hơn cả hai. Chính xác là \(\Delta_y < (6x^2+4x-1)^2\). Ta cần kiểm tra thêm \( (6x^2+4x-2)^2 \).

\[ (6x^2+4x-2)^2 = (6x^2+4x)^2 – 4(6x^2+4x) + 4 = 36x^4 + 48x^3 + 16x^2 – 24x^2 – 16x + 4 = 36x^4 + 48x^3 – 8x^2 – 16x + 4 \]

\[ \Delta_y – (6x^2+4x-2)^2 = (36x^4 + 52x^3 – 1040x^2 – 1040x + 14932) – (36x^4 + 48x^3 – 8x^2 – 16x + 4) \]

\[ = 4x^3 – 1032x^2 – 1024x + 14928 \]

Đặt \(R(x) = 4x^3 – 1032x^2 – 1024x + 14928\).

Với \(x=7\): \(R(7) = 4(7^3) – 1032(7^2) – 1024(7) + 14928 = 1372 – 50568 – 7168 + 14928 = -41436\).

Với \(x \ge 7\), \(R(x)\) luôn âm. Vậy \(\Delta_y < (6x^2+4x-2)^2\).

Nhận thấy, với \(x \ge 7\), \(\Delta_y\) luôn nhỏ hơn \((6x^2+4x-2)^2\). Mặt khác \(\Delta_y\) cũng phải là một số chính phương. Điều này cho thấy không có giá trị \(x \ge 7\) nào thỏa mãn \(\Delta_y\) là số chính phương.

Do đó, không có nghiệm nguyên dương nào trong trường hợp \(x \ge 7\) và \(y \ge 4\).

Tóm lại, qua các trường hợp đã xét, ta chỉ tìm được một cặp nghiệm nguyên dương duy nhất.

Kết luận:

Cặp số nguyên dương \((x,y)\) thỏa mãn phương trình là \((1,1)\).