Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được hướng dẫn các em giải quyết các bài tập thú vị về lượng giác trong tam giác. Đây là những bài tập điển hình giúp chúng ta ôn lại các công thức biến đổi và mối quan hệ giữa các góc trong tam giác. Nào, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài giải:

Bài 2:

a) Chứng minh: Nếu ba góc \(A, B, C\) của tam giác \(ABC\) thoả mãn \(sin A=\frac{sinB+sinC}{cosB+cosC}\) thì tam giác \(ABC\) vuông.

Phân tích đề bài và hướng giải quyết:

Chúng ta được cho một đẳng thức liên quan đến các góc của tam giác. Để chứng minh tam giác \(ABC\) vuông, chúng ta cần chỉ ra rằng một trong ba góc \(A, B, C\) bằng \(90^\circ\) hay \(\frac{\pi}{2}\).
Để đơn giản hóa biểu thức, chúng ta sẽ sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích ở vế phải (RHS) của phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có giả thiết: \(sin A=\frac{sinB+sinC}{cosB+cosC}\)

Xét vế phải (RHS) của đẳng thức:

\(RHS = \frac{sinB+sinC}{cosB+cosC}\)

Áp dụng các công thức biến đổi tổng thành tích:

• \(sinX + sinY = 2sin\frac{X+Y}{2}cos\frac{X-Y}{2}\)
• \(cosX + cosY = 2cos\frac{X+Y}{2}cos\frac{X-Y}{2}\)

Với \(X=B\) và \(Y=C\), ta có:

\(sinB+sinC = 2sin\frac{B+C}{2}cos\frac{B-C}{2}\)

\(cosB+cosC = 2cos\frac{B+C}{2}cos\frac{B-C}{2}\)

Thay vào RHS:

\(RHS = \frac{2sin\frac{B+C}{2}cos\frac{B-C}{2}}{2cos\frac{B+C}{2}cos\frac{B-C}{2}}\)

Vì \(B\) và \(C\) là các góc của tam giác, nên \(0 < B < \pi\) và \(0 < C < \pi\). Do đó, \(-\pi < B-C < \pi\). Nếu \(cos\frac{B-C}{2} = 0\), điều này có nghĩa là \(\frac{B-C}{2} = \frac{\pi}{2}\) hoặc \(-\frac{\pi}{2}\), tức là \(B-C = \pi\) hoặc \(B-C = -\pi\). Điều này không thể xảy ra trong một tam giác (vì \(B+C < \pi\)). Vậy, \(cos\frac{B-C}{2} \neq 0\). Ta có thể rút gọn \(cos\frac{B-C}{2}\) ở tử và mẫu:

\(RHS = \frac{sin\frac{B+C}{2}}{cos\frac{B+C}{2}} = tan\frac{B+C}{2}\)

Trong tam giác \(ABC\), tổng ba góc là \(\pi\), tức là \(A+B+C=\pi\).
Do đó, \(B+C = \pi – A\), và \(\frac{B+C}{2} = \frac{\pi – A}{2} = \frac{\pi}{2} – \frac{A}{2}\).

Thay vào biểu thức RHS:

\(RHS = tan\left(\frac{\pi}{2} – \frac{A}{2}\right)\)

Sử dụng công thức phụ chéo: \(tan\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = cot x\)

Nên, \(RHS = cot\frac{A}{2}\)

Vậy, đẳng thức ban đầu trở thành:

\(sin A = cot\frac{A}{2}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi cả hai vế về cùng một dạng (ví dụ, theo \(\frac{A}{2}\)):

Ta có các công thức:

• \(sin A = 2sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}\) (công thức nhân đôi)
• \(cot\frac{A}{2} = \frac{cos\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}}\)

Thay vào phương trình:

\(2sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2} = \frac{cos\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}}\)

Vì \(A\) là góc của tam giác, nên \(0 < A < \pi\), suy ra \(0 < \frac{A}{2} < \frac{\pi}{2}\).

Trong khoảng này, \(sin\frac{A}{2} > 0\) và \(cos\frac{A}{2} > 0\).
Do đó, \(cos\frac{A}{2} \neq 0\) và \(sin\frac{A}{2} \neq 0\).

Nhân cả hai vế với \(sin\frac{A}{2}\):

\(2sin^2\frac{A}{2}cos\frac{A}{2} = cos\frac{A}{2}\)

Chuyển vế và đặt thừa số chung:

\(2sin^2\frac{A}{2}cos\frac{A}{2} – cos\frac{A}{2} = 0\)

\(cos\frac{A}{2} (2sin^2\frac{A}{2} – 1) = 0\)

Vì \(cos\frac{A}{2} \neq 0\), ta phải có:

\(2sin^2\frac{A}{2} – 1 = 0\)

\(2sin^2\frac{A}{2} = 1\)

\(sin^2\frac{A}{2} = \frac{1}{2}\)

\(sin\frac{A}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) (vì \(sin\frac{A}{2} > 0\))

Trong khoảng \(0 < \frac{A}{2} < \frac{\pi}{2}\), giá trị này chỉ đạt được khi:

\(\frac{A}{2} = \frac{\pi}{4}\)

\(A = \frac{\pi}{2}\) hay \(A = 90^\circ\)

Vậy, tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\).

Kết luận: Nếu ba góc \(A, B, C\) của tam giác \(ABC\) thoả mãn \(sin A=\frac{sinB+sinC}{cosB+cosC}\) thì tam giác \(ABC\) vuông.

—

b) Cho tam giác \(ABC\) có \(cot\frac{C}{2}=\frac{2sinAsinB}{sinC}\). Chứng minh tam giác \(ABC\) cân.

Phân tích đề bài và hướng giải quyết:

Để chứng minh tam giác \(ABC\) cân, chúng ta cần chỉ ra rằng hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau (ví dụ: \(A=B\) hoặc \(B=C\) hoặc \(C=A\)).
Chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác, đặc biệt là công thức hạ bậc, công thức biến đổi tích thành tổng, và mối quan hệ giữa các góc trong tam giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có giả thiết: \(cot\frac{C}{2}=\frac{2sinAsinB}{sinC}\)

Sử dụng công thức hạ bậc cho \(cot\frac{C}{2}\) (hoặc công thức biểu diễn \(cot\frac{C}{2}\) theo \(C\)):

\(cot\frac{C}{2} = \frac{1+cosC}{sinC}\)

Thay vào đẳng thức đã cho:

\(\frac{1+cosC}{sinC} = \frac{2sinAsinB}{sinC}\)

Vì \(C\) là góc của tam giác, \(0 < C < \pi\), nên \(sinC \neq 0\). Do đó, ta có thể nhân cả hai vế với \(sinC\):

\(1+cosC = 2sinAsinB\)

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho \(2sinAsinB\):

\(2sinAsinB = cos(A-B) – cos(A+B)\)

Thay vào phương trình:

\(1+cosC = cos(A-B) – cos(A+B)\)

Trong tam giác \(ABC\), tổng ba góc là \(\pi\), tức là \(A+B+C=\pi\).

Suy ra \(A+B = \pi – C\).

Do đó, \(cos(A+B) = cos(\pi – C)\).

Sử dụng công thức \(cos(\pi – x) = -cos x\):

\(cos(A+B) = -cosC\)

Thay \(cos(A+B) = -cosC\) vào phương trình:

\(1+cosC = cos(A-B) – (-cosC)\)

\(1+cosC = cos(A-B) + cosC\)

Trừ \(cosC\) ở cả hai vế:

\(1 = cos(A-B)\)

Vì \(A\) và \(B\) là các góc của tam giác, ta có \(0 < A < \pi\) và \(0 < B < \pi\).

Do đó, \(\sin(A)\) và \(\sin(B)\) đều dương, và \(\cos(A-B)\) phải nằm trong khoảng \([-1, 1]\).
Khoảng giá trị của \(A-B\):

\(A-B \in (-\pi, \pi)\)

Trong khoảng \((-\pi, \pi)\), giá trị duy nhất của một góc mà cosin của nó bằng 1 là \(0\).

Vậy, \(A-B = 0\)

\(A = B\)

Khi hai góc \(A\) và \(B\) của tam giác \(ABC\) bằng nhau, thì tam giác đó là tam giác cân (cân tại đỉnh \(C\)).

Kết luận: Nếu tam giác \(ABC\) có \(cot\frac{C}{2}=\frac{2sinAsinB}{sinC}\) thì tam giác \(ABC\) cân.

Hy vọng qua lời giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách áp dụng các công thức lượng giác để giải quyết bài toán. Hãy luôn nhớ rằng việc nắm vững các công thức cơ bản là chìa khóa để giải quyết các bài tập phức tạp hơn nhé! Chúc các em học tốt!