Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán về đại số, liên quan đến các hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học.

Đề bài: Cho \((a+b)^2 = 144\) và \(a^2 – b^2 = 48\). Hãy tính tích \(a \cdot b\).

Chúng ta cùng phân tích và giải bài toán này nhé!

Bước 1: Phân tích các giả thiết đã cho.

Chúng ta có hai thông tin quan trọng từ đề bài:

1. \((a+b)^2 = 144\)

2. \(a^2 – b^2 = 48\)

Bước 2: Khai thác thông tin từ giả thiết thứ nhất.

Từ phương trình \((a+b)^2 = 144\), chúng ta có thể tìm giá trị của tổng \((a+b)\) bằng cách lấy căn bậc hai hai vế:

\(\sqrt{(a+b)^2} = \sqrt{144}\)

Các em cần nhớ rằng khi lấy căn bậc hai của một số, chúng ta sẽ có hai giá trị: một giá trị dương và một giá trị âm.

Do đó, chúng ta có:

\(a+b = 12\) hoặc \(a+b = -12\)

Chúng ta sẽ lần lượt xem xét cả hai trường hợp này.

Bước 3: Khai thác thông tin từ giả thiết thứ hai.

Biểu thức \(a^2 – b^2\) là một hằng đẳng thức quen thuộc mà chúng ta đã học, đó là hiệu của hai bình phương:

\(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\)

Theo đề bài, chúng ta có \(a^2 – b^2 = 48\). Vậy, chúng ta có thể viết lại là:

\((a-b)(a+b) = 48\)

Bước 4: Kết hợp các thông tin để tìm \((a-b)\) và sau đó là \(a, b\), rồi tính \(a \cdot b\).

Chúng ta sẽ xét hai trường hợp của \((a+b)\) đã tìm được ở Bước 2.

Trường hợp 1: Nếu \(a+b = 12\).

Thay \(a+b = 12\) vào phương trình \((a-b)(a+b) = 48\), ta được:

\((a-b) \cdot 12 = 48\)

Để tìm \((a-b)\), chúng ta chia cả hai vế cho 12:

\(a-b = \frac{48}{12}\)

\(a-b = 4\)

Như vậy, trong trường hợp này, chúng ta có một hệ phương trình gồm hai phương trình đơn giản:

1) \(a+b = 12\)

2) \(a-b = 4\)

Để tìm giá trị của \(a\) và \(b\), chúng ta có thể cộng hai phương trình này lại với nhau:

\((a+b) + (a-b) = 12 + 4\)

\(a+b+a-b = 16\)

\(2a = 16\)

\(a = \frac{16}{2}\)

\(a = 8\)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị của \(a=8\) vào phương trình \(a+b=12\) để tìm \(b\):

\(8 + b = 12\)

\(b = 12 – 8\)

\(b = 4\)

Vậy, trong trường hợp này, \(a=8\) và \(b=4\). Tích \(a \cdot b\) sẽ là:

\(a \cdot b = 8 \cdot 4 = 32\)

Trường hợp 2: Nếu \(a+b = -12\).

Tương tự, chúng ta thay \(a+b = -12\) vào phương trình \((a-b)(a+b) = 48\), ta được:

\((a-b) \cdot (-12) = 48\)

Để tìm \((a-b)\), chúng ta chia cả hai vế cho -12:

\(a-b = \frac{48}{-12}\)

\(a-b = -4\)

Trong trường hợp này, chúng ta cũng có một hệ phương trình:

1) \(a+b = -12\)

2) \(a-b = -4\)

Cộng hai phương trình này lại với nhau:

\((a+b) + (a-b) = -12 + (-4)\)

\(a+b+a-b = -16\)

\(2a = -16\)

\(a = \frac{-16}{2}\)

\(a = -8\)

Thay giá trị của \(a=-8\) vào phương trình \(a+b=-12\) để tìm \(b\):

\(-8 + b = -12\)

\(b = -12 – (-8)\)

\(b = -12 + 8\)

\(b = -4\)

Vậy, trong trường hợp này, \(a=-8\) và \(b=-4\). Tích \(a \cdot b\) sẽ là:

\(a \cdot b = (-8) \cdot (-4) = 32\)

Bước 5: Kết luận.

Trong cả hai trường hợp mà chúng ta đã xét, giá trị của tích \(a \cdot b\) đều bằng 32.

Vậy, đáp số cuối cùng của bài toán là: \(a \cdot b = 32\).

Các em nhớ ôn lại các hằng đẳng thức đáng nhớ và phương pháp giải hệ phương trình nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, hãy hỏi thầy/cô. Chúc các em học tốt!