Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, cô/thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán về giá trị lượng giác này nhé. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 10 của chúng ta.

Đề bài:

Cho \(\sin\alpha = \dfrac{1}{3}\) với \(90^o < \alpha < 180^o\). Tính \(\cos\alpha\) và \(\tan\alpha\).

Chúng ta sẽ giải bài toán này theo từng bước một để đảm bảo sự rõ ràng và chính xác.

Bước 1: Tính \(\cos\alpha\)

Để tính \(\cos\alpha\) khi biết \(\sin\alpha\), chúng ta sử dụng công thức lượng giác cơ bản nhất, đó là:

\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị \(\sin\alpha = \dfrac{1}{3}\) vào công thức này:

\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1\)

Tính bình phương của \(\dfrac{1}{3}\):

\(\dfrac{1}{9} + \cos^2\alpha = 1\)

Để tìm \(\cos^2\alpha\), chúng ta chuyển \(\dfrac{1}{9}\) sang vế phải:

\(\cos^2\alpha = 1 – \dfrac{1}{9}\)

\(\cos^2\alpha = \dfrac{9}{9} – \dfrac{1}{9}\)

\(\cos^2\alpha = \dfrac{8}{9}\)

Bây giờ, chúng ta lấy căn bậc hai hai vế để tìm \(\cos\alpha\). Hãy nhớ rằng khi lấy căn bậc hai, chúng ta sẽ có hai giá trị, một dương và một âm:

\(\cos\alpha = \pm\sqrt{\dfrac{8}{9}}\)

\(\cos\alpha = \pm\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}\)

\(\cos\alpha = \pm\dfrac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3}\)

\(\cos\alpha = \pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)

Đến đây, chúng ta cần xác định dấu của \(\cos\alpha\). Đề bài cho biết \(90^o < \alpha < 180^o\). Điều này có nghĩa là góc \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ II của đường tròn lượng giác.

Trong góc phần tư thứ II, các giá trị lượng giác có dấu như sau:

• \(\sin\alpha\) là dương (điều này phù hợp với \(\sin\alpha = \dfrac{1}{3} > 0\))
• \(\cos\alpha\) là âm
• \(\tan\alpha\) là âm
• \(\cot\alpha\) là âm

Vì \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ II, \(\cos\alpha\) phải mang giá trị âm.

Vậy, chúng ta chọn giá trị âm cho \(\cos\alpha\):

\(\cos\alpha = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)

Bước 2: Tính \(\tan\alpha\)

Sau khi đã tìm được cả \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\), chúng ta có thể dễ dàng tính \(\tan\alpha\) bằng công thức định nghĩa:

\(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)

Bây giờ, chúng ta thay các giá trị đã biết vào công thức:

\(\sin\alpha = \dfrac{1}{3}\)

\(\cos\alpha = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)

Do đó:

\(\tan\alpha = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}\)

Để thực hiện phép chia phân số, chúng ta nhân phân số thứ nhất với nghịch đảo của phân số thứ hai:

\(\tan\alpha = \dfrac{1}{3} \cdot \left(-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)\)

Rút gọn số 3 ở tử và mẫu:

\(\tan\alpha = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

Để biểu thức được đẹp và chuẩn hóa, chúng ta sẽ trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{2}\):

\(\tan\alpha = -\dfrac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}\)

\(\tan\alpha = -\dfrac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}\)

\(\tan\alpha = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

Kết luận:

Vậy, với \(\sin\alpha = \dfrac{1}{3}\) và \(90^o < \alpha < 180^o\), chúng ta đã tính được:

\(\cos\alpha = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(\tan\alpha = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

Các em nhớ rằng việc xác định góc phần tư của \(\alpha\) là vô cùng quan trọng để chọn đúng dấu cho các giá trị lượng giác nhé! Nếu bỏ qua bước này, kết quả của chúng ta sẽ không chính xác.

Chúc các em học tốt và luôn tự tin giải quyết các bài toán lượng giác!