Chào em, cô là giáo viên môn Toán lớp 8 đây. Cô rất vui được giúp em giải bài toán này. Em cứ yên tâm đi giỗ nhé, để cô giải chi tiết bài này cho em. Đây là một dạng toán rất hay và thường gặp trong chương trình Toán lớp 8.

Đề bài: Giải phương trình tích: \((x – 1) (x – 3) (x + 5) (x + 7) – 297 = 0\)

Phân tích và định hướng giải:

Phương trình đã cho là một phương trình bậc cao. Nếu chúng ta nhân trực tiếp tất cả các thừa số, chúng ta sẽ thu được một đa thức bậc 4, việc giải trực tiếp phương trình bậc 4 này là khá phức tạp và không nằm trong chương trình lớp 8. Do đó, chúng ta cần tìm một phương pháp khác hiệu quả hơn.

Quan sát các thừa số, chúng ta có thể nhóm các thừa số lại với nhau một cách thích hợp để tạo ra một biểu thức chung, từ đó có thể đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai đơn giản hơn.

Hãy thử nhóm các thừa số lại như sau:

• Nhóm thừa số thứ nhất với thừa số thứ ba: \((x – 1)(x + 5)\)
• Nhóm thừa số thứ hai với thừa số thứ tư: \((x – 3)(x + 7)\)

Lý do của cách nhóm này là khi nhân chúng lại, chúng ta sẽ thấy xuất hiện một biểu thức chung \((x^2 + 4x)\).

Các bước giải chi tiết:

Bước 1: Sắp xếp lại và nhân các cặp thừa số.

Phương trình ban đầu có thể viết lại thành:

\(\left[ (x – 1) (x + 5) \right] \left[ (x – 3) (x + 7) \right] – 297 = 0\)

Bây giờ, chúng ta nhân từng cặp thừa số:

Cặp thứ nhất:

\((x – 1) (x + 5) = x \cdot x + x \cdot 5 – 1 \cdot x – 1 \cdot 5\)
\(= x^2 + 5x – x – 5\)
\(= x^2 + 4x – 5\) \(\quad\) (1)

Cặp thứ hai:

\((x – 3) (x + 7) = x \cdot x + x \cdot 7 – 3 \cdot x – 3 \cdot 7\)
\(= x^2 + 7x – 3x – 21\)
\(= x^2 + 4x – 21\) \(\quad\) (2)

Bước 2: Thay các biểu thức đã nhân vào phương trình gốc.

Thay (1) và (2) vào phương trình, ta được:

\((x^2 + 4x – 5)(x^2 + 4x – 21) – 297 = 0\)

Bước 3: Đặt ẩn phụ.

Để đơn giản hóa phương trình, chúng ta nhận thấy có biểu thức chung là \((x^2 + 4x)\). Ta sẽ đặt ẩn phụ:

Đặt \(y = x^2 + 4x\)

Khi đó, phương trình trở thành:

\((y – 5)(y – 21) – 297 = 0\)

Bước 4: Giải phương trình theo ẩn \(y\).

Bây giờ, chúng ta giải phương trình bậc hai theo biến \(y\):

\(y^2 – 21y – 5y + (-5)(-21) – 297 = 0\)
\(y^2 – 26y + 105 – 297 = 0\)
\(y^2 – 26y – 192 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai có dạng \(ay^2 + by + c = 0\). Ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm (delta).

Sử dụng công thức nghiệm: \(\Delta = b^2 – 4ac\)

Với \(a=1, b=-26, c=-192\), ta có:

\(\Delta = (-26)^2 – 4(1)(-192)\)
\(\Delta = 676 + 768\)
\(\Delta = 1444\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(y = \frac{-(-26) \pm \sqrt{1444}}{2(1)}\)
\(y = \frac{26 \pm 38}{2}\)

Từ đó ta có hai giá trị của \(y\):

\(y_1 = \frac{26 + 38}{2} = \frac{64}{2} = 32\)
\(y_2 = \frac{26 – 38}{2} = \frac{-12}{2} = -6\)

Bước 5: Thay ngược trở lại để tìm \(x\).

Chúng ta có hai trường hợp cần xét:

Trường hợp 1: \(y = 32\)

Thay \(y = 32\) vào biểu thức đặt ẩn phụ \(y = x^2 + 4x\), ta được:

\(x^2 + 4x = 32\)
\(x^2 + 4x – 32 = 0\)

Đây lại là một phương trình bậc hai. Ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.

Phân tích thành nhân tử: Tìm hai số có tích bằng \(-32\) và tổng bằng \(4\). Đó là \(8\) và \(-4\).

\((x + 8)(x – 4) = 0\)

Từ đó suy ra:

\(x + 8 = 0 \implies x = -8\)
\(x – 4 = 0 \implies x = 4\)

Trường hợp 2: \(y = -6\)

Thay \(y = -6\) vào biểu thức đặt ẩn phụ \(y = x^2 + 4x\), ta được:

\(x^2 + 4x = -6\)
\(x^2 + 4x + 6 = 0\)

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:

Với \(a=1, b=4, c=6\), ta có:

\(\Delta = b^2 – 4ac\)
\(\Delta = 4^2 – 4(1)(6)\)
\(\Delta = 16 – 24\)
\(\Delta = -8\)

Vì \(\Delta < 0\), phương trình này vô nghiệm thực. (Trong chương trình lớp 8, chúng ta chỉ xét nghiệm thực).

Bước 6: Kết luận nghiệm.

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm thực là \(x = -8\) và \(x = 4\).

Kiểm tra lại (không bắt buộc nhưng rất nên làm):

Với \(x = 4\):
\((4 – 1)(4 – 3)(4 + 5)(4 + 7) – 297\)
\(= (3)(1)(9)(11) – 297\)
\(= 297 – 297 = 0\) (Đúng)

Với \(x = -8\):
\((-8 – 1)(-8 – 3)(-8 + 5)(-8 + 7) – 297\)
\(= (-9)(-11)(-3)(-1) – 297\)
\(= (99)(3) – 297\)
\(= 297 – 297 = 0\) (Đúng)

Vậy là bài giải đã hoàn thành và nghiệm đã được kiểm tra lại. Em thấy cách làm này có logic và dễ hiểu đúng không nào?

Chúc em và gia đình có một chuyến về quê an toàn và vui vẻ trong ngày giỗ nhé! Cô mong rằng bài giải này sẽ giúp em hiểu rõ hơn về dạng toán này.