Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán năng suất khá thú vị, đây là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 đấy. Đặc biệt, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ phương trình theo gợi ý của bạn mình nhé.

Bài toán: Một tổ sản xuất theo kế hoạch làm 500 sp trong một số giờ qui định. Sau khi làm xong 250 sp đầu tiên, tổ quyết định làm thêm 5 sp mỗi giờ so với qui định. Vì vậy, tổ hoàn thành sớm so với qui định 1 giờ và làm thêm 20 sp. Tính thời gian làm và số sp làm trong mỗi giờ theo qui định ban đầu.

Trước hết, hãy cùng nhau phân tích và đặt ẩn cho bài toán này nhé!

Bước 1: Đặt ẩn và lập hệ phương trình

Gọi:

• Số sản phẩm tổ làm được trong 1 giờ theo qui định ban đầu là \(x\) (sản phẩm/giờ). Điều kiện: \(x > 0\).
• Số sản phẩm tổ làm được trong 1 giờ sau khi tăng năng suất là \(y\) (sản phẩm/giờ). Điều kiện: \(y > 0\).

Dựa vào các dữ kiện của bài toán, chúng ta sẽ lập các phương trình như sau:

Phương trình thứ nhất: Mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\).

Theo đề bài: “sau khi làm xong 250 sp đầu tiên, tổ quyết định làm thêm 5 sp mỗi giờ so với qui định”.
Điều này có nghĩa là năng suất làm việc ở giai đoạn sau đã tăng thêm 5 sản phẩm/giờ so với năng suất ban đầu.

Vậy, ta có phương trình:

\(y = x + 5\)

Hay \( -x + y = 5 \) (Đây chính là phương trình đầu tiên trong hệ của bạn đã đưa ra).

Phương trình thứ hai: Mối quan hệ về thời gian.

Để lập phương trình này, chúng ta cần tính toán thời gian theo kế hoạch và thời gian thực tế.

• Tổng số sản phẩm thực tế đã làm: Tổ làm thêm 20 sp so với kế hoạch (500 sp).
  
  Vậy tổng số sản phẩm thực tế là: \(500 + 20 = 520\) (sản phẩm).
• Thời gian dự kiến hoàn thành 500 sản phẩm:
  
  Theo kế hoạch, tổ làm 500 sp với năng suất \(x\) sp/giờ.
  
  Thời gian dự kiến là: \(\frac{500}{x}\) (giờ).
• Thời gian thực tế hoàn thành 520 sản phẩm:
  
  Giai đoạn 1: Làm 250 sản phẩm đầu tiên với năng suất theo qui định là \(x\) sp/giờ.
  
  Thời gian làm 250 sản phẩm đầu tiên là: \(\frac{250}{x}\) (giờ).
  
  Giai đoạn 2: Số sản phẩm còn lại phải làm là: \(520 – 250 = 270\) (sản phẩm).
  
  Giai đoạn này tổ làm với năng suất tăng thêm là \(y\) sp/giờ.
  
  Thời gian làm 270 sản phẩm còn lại là: \(\frac{270}{y}\) (giờ).
  
  Tổng thời gian thực tế để hoàn thành 520 sản phẩm là: \(\frac{250}{x} + \frac{270}{y}\) (giờ).

Theo đề bài, tổ hoàn thành sớm hơn so với qui định 1 giờ. Điều này có nghĩa là:

Thời gian dự kiến – Thời gian thực tế = 1 giờ

Vậy, ta có phương trình:

\(\frac{500}{x} – \left( \frac{250}{x} + \frac{270}{y} \right) = 1\)

\(\frac{500}{x} – \frac{250}{x} – \frac{270}{y} = 1\)

\(\frac{250}{x} – \frac{270}{y} = 1\) (Đây chính là phương trình thứ hai trong hệ của bạn đã đưa ra).

Như vậy, chúng ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases} -x + y = 5 \\ \frac{250}{x} – \frac{270}{y} = 1 \end{cases}\)

Bước 2: Giải hệ phương trình

Từ phương trình (1), ta rút \(y\) theo \(x\):

\(y = x + 5\) (3)

Thế (3) vào phương trình (2), ta được:

\(\frac{250}{x} – \frac{270}{x+5} = 1\)

Để giải phương trình này, chúng ta quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là \(x(x+5)\).

Điều kiện để mẫu số khác 0 là \(x \neq 0\) và \(x \neq -5\). (Vì \(x\) là số sản phẩm/giờ nên \(x > 0\), các điều kiện này luôn được thỏa mãn).

\(250(x+5) – 270x = x(x+5)\)

Thực hiện phép nhân và khai triển:

\(250x + 1250 – 270x = x^2 + 5x\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đưa về phương trình bậc hai:

\(0 = x^2 + 5x + 270x – 250x – 1250\)

\(0 = x^2 + (5 + 270 – 250)x – 1250\)

\(x^2 + 25x – 1250 = 0\)

Chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm.

Phương trình có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a=1\), \(b=25\), \(c=-1250\).

Tính biệt thức \(\Delta\):

\(\Delta = b^2 – 4ac\)

\(\Delta = (25)^2 – 4 \cdot (1) \cdot (-1250)\)

\(\Delta = 625 + 5000\)

\(\Delta = 5625\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt.

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{5625} = 75\)

Các nghiệm là:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-25 + 75}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25\)

\(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-25 – 75}{2 \cdot 1} = \frac{-100}{2} = -50\)

Kiểm tra điều kiện:

Vì \(x\) là số sản phẩm làm được trong 1 giờ, nên \(x\) phải là một số dương.

Do đó, nghiệm \(x_2 = -50\) (loại).

Ta nhận nghiệm \(x_1 = 25\).

Bước 3: Tìm các giá trị còn lại và kết luận

Với \(x = 25\), ta tìm được năng suất tăng thêm \(y\):

\(y = x + 5 = 25 + 5 = 30\) (sản phẩm/giờ).

Tính thời gian làm theo qui định ban đầu:

Thời gian dự kiến để hoàn thành 500 sản phẩm là: \(\frac{500}{x} = \frac{500}{25} = 20\) (giờ).

Để chắc chắn hơn, chúng ta có thể kiểm tra lại bài toán với các giá trị vừa tìm được:

• Số sản phẩm/giờ theo qui định: 25 sp/giờ.
• Thời gian dự kiến: 20 giờ.
• Thời gian làm 250 sp đầu tiên: \(\frac{250}{25} = 10\) giờ.
• Năng suất sau khi tăng: \(25 + 5 = 30\) sp/giờ.
• Tổng số sp thực tế: \(500 + 20 = 520\) sp.
• Số sp còn lại sau 250 sp đầu tiên: \(520 – 250 = 270\) sp.
• Thời gian làm 270 sp còn lại: \(\frac{270}{30} = 9\) giờ.
• Tổng thời gian thực tế: \(10 + 9 = 19\) giờ.
• So sánh: Thời gian dự kiến (20 giờ) – Thời gian thực tế (19 giờ) = 1 giờ. (Đúng với đề bài: hoàn thành sớm 1 giờ).

Vậy các giá trị chúng ta tìm được là hoàn toàn chính xác!

Kết luận:

Thời gian làm theo qui định ban đầu là 20 giờ.

Số sản phẩm làm trong mỗi giờ theo qui định ban đầu là 25 sản phẩm/giờ.

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách phân tích đề bài, đặt ẩn, lập hệ phương trình và giải nó một cách cẩn thận. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại thầy nhé!