Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một dạng bài tập rất quan trọng trong chương trình Đại số lớp 8, đó là bài tập phân tích đa thức thành nhân tử. Bài tập này giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số và là nền tảng cho nhiều bài toán nâng cao hơn.

Cô sẽ hướng dẫn chi tiết từng câu một nhé. Các em chú ý theo dõi và ghi chép lại.

Câu 1: Phân tích đa thức \( (x+y)^2 – 8(x+y) + 12 \) thành nhân tử.

Lời giải:

Các em quan sát đa thức này. Chúng ta thấy có biểu thức \( (x+y) \) lặp lại. Đây là dấu hiệu để chúng ta đặt ẩn phụ.

Đặt \( a = x+y \). Khi đó, đa thức trở thành:

\( a^2 – 8a + 12 \)

Đây là một tam thức bậc hai với biến là \( a \). Chúng ta sẽ phân tích tam thức này thành nhân tử. Có nhiều cách để phân tích, ở đây cô sẽ sử dụng phương pháp tách hạng tử.

Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng \( 1 \times 12 = 12 \) và có tổng bằng \( -8 \). Hai số đó là \( -2 \) và \( -6 \).

Ta tách hạng tử \( -8a \) thành \( -2a – 6a \):

\( a^2 – 2a – 6a + 12 \)

Nhóm các hạng tử lại:

\( (a^2 – 2a) – (6a – 12) \)

Đặt nhân tử chung ra ngoài của mỗi nhóm:

\( a(a – 2) – 6(a – 2) \)

Bây giờ, chúng ta thấy có nhân tử chung là \( (a – 2) \). Đặt \( (a – 2) \) ra ngoài:

\( (a – 2)(a – 6) \)

Cuối cùng, chúng ta thay \( a = x+y \) trở lại:

\( (x+y – 2)(x+y – 6) \)

Vậy, đa thức \( (x+y)^2 – 8(x+y) + 12 \) được phân tích thành nhân tử là \( (x+y – 2)(x+y – 6) \).

Câu 2: Phân tích đa thức \( (x^2 + 2x)^2 – 2x^2 – 4x – 3 \) thành nhân tử.

Lời giải:

Chúng ta tiếp tục quan sát đa thức này. Ta nhận thấy biểu thức \( x^2 + 2x \) có mặt trong số hạng đầu tiên, và \( -2x^2 – 4x \) có thể rút gọn được \( -2 \) để xuất hiện \( x^2 + 2x \).

Ta viết lại đa thức như sau:

\( (x^2 + 2x)^2 – 2(x^2 + 2x) – 3 \)

Ở đây, chúng ta lại gặp dạng bài tương tự câu 1. Đặt \( b = x^2 + 2x \). Đa thức trở thành:

\( b^2 – 2b – 3 \)

Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng \( 1 \times (-3) = -3 \) và có tổng bằng \( -2 \). Hai số đó là \( -3 \) và \( 1 \).

Ta tách hạng tử \( -2b \) thành \( -3b + b \):

\( b^2 – 3b + b – 3 \)

Nhóm các hạng tử lại:

\( (b^2 – 3b) + (b – 3) \)

Đặt nhân tử chung ra ngoài của mỗi nhóm:

\( b(b – 3) + 1(b – 3) \)

Đặt nhân tử chung \( (b – 3) \) ra ngoài:

\( (b – 3)(b + 1) \)

Cuối cùng, thay \( b = x^2 + 2x \) trở lại:

\( (x^2 + 2x – 3)(x^2 + 2x + 1) \)

Chúng ta tiếp tục kiểm tra xem các nhân tử có thể phân tích được nữa không.

Với nhân tử \( x^2 + 2x – 3 \), ta tìm hai số có tích bằng \( -3 \) và tổng bằng \( 2 \). Hai số đó là \( 3 \) và \( -1 \).

\( x^2 + 3x – x – 3 = x(x+3) – 1(x+3) = (x+3)(x-1) \)

Với nhân tử \( x^2 + 2x + 1 \), ta nhận ra đây là hằng đẳng thức bình phương của một tổng:

\( x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \)

Vậy, đa thức \( (x^2 + 2x)^2 – 2x^2 – 4x – 3 \) được phân tích thành nhân tử là \( (x+3)(x-1)(x+1)^2 \).

Câu 3: Phân tích đa thức \( (x^2 + x)^2 + 4x^2 + 4x – 12 \) thành nhân tử.

Lời giải:

Tương tự như các câu trên, chúng ta nhận thấy \( x^2 + x \) xuất hiện ở số hạng đầu. Hạng tử \( 4x^2 + 4x \) cũng có thể nhóm lại để xuất hiện \( x^2 + x \).

Ta viết lại đa thức:

\( (x^2 + x)^2 + 4(x^2 + x) – 12 \)

Đặt \( c = x^2 + x \). Đa thức trở thành:

\( c^2 + 4c – 12 \)

Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng \( -12 \) và tổng bằng \( 4 \). Hai số đó là \( 6 \) và \( -2 \).

Ta tách hạng tử \( 4c \) thành \( 6c – 2c \):

\( c^2 + 6c – 2c – 12 \)

Nhóm các hạng tử lại:

\( (c^2 + 6c) – (2c + 12) \)

Đặt nhân tử chung ra ngoài của mỗi nhóm:

\( c(c + 6) – 2(c + 6) \)

Đặt nhân tử chung \( (c + 6) \) ra ngoài:

\( (c + 6)(c – 2) \)

Cuối cùng, thay \( c = x^2 + x \) trở lại:

\( (x^2 + x + 6)(x^2 + x – 2) \)

Kiểm tra tiếp các nhân tử:

Nhân tử \( x^2 + x + 6 \): Delta = \( 1^2 – 4 \times 1 \times 6 = 1 – 24 = -23 < 0 \), nên đa thức này không phân tích được nữa trên tập số thực.

Nhân tử \( x^2 + x – 2 \): Ta tìm hai số có tích bằng \( -2 \) và tổng bằng \( 1 \). Hai số đó là \( 2 \) và \( -1 \).

\( x^2 + 2x – x – 2 = x(x+2) – 1(x+2) = (x+2)(x-1) \)

Vậy, đa thức \( (x^2 + x)^2 + 4x^2 + 4x – 12 \) được phân tích thành nhân tử là \( (x^2 + x + 6)(x+2)(x-1) \).

Câu 4: Phân tích đa thức \( (x^2 + 2x)^2 + 9x^2 + 18x + 20 \) thành nhân tử.

Lời giải:

Ta nhận thấy \( x^2 + 2x \) xuất hiện ở số hạng đầu. Hạng tử \( 9x^2 + 18x \) có thể nhóm lại để xuất hiện \( x^2 + 2x \).

Ta viết lại đa thức:

\( (x^2 + 2x)^2 + 9(x^2 + 2x) + 20 \)

Đặt \( d = x^2 + 2x \). Đa thức trở thành:

\( d^2 + 9d + 20 \)

Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng \( 20 \) và tổng bằng \( 9 \). Hai số đó là \( 4 \) và \( 5 \).

Ta tách hạng tử \( 9d \) thành \( 4d + 5d \):

\( d^2 + 4d + 5d + 20 \)

Nhóm các hạng tử lại:

\( (d^2 + 4d) + (5d + 20) \)

Đặt nhân tử chung ra ngoài của mỗi nhóm:

\( d(d + 4) + 5(d + 4) \)

Đặt nhân tử chung \( (d + 4) \) ra ngoài:

\( (d + 4)(d + 5) \)

Cuối cùng, thay \( d = x^2 + 2x \) trở lại:

\( (x^2 + 2x + 4)(x^2 + 2x + 5) \)

Kiểm tra tiếp các nhân tử:

Nhân tử \( x^2 + 2x + 4 \): Delta = \( 2^2 – 4 \times 1 \times 4 = 4 – 16 = -12 < 0 \), nên không phân tích được nữa.

Nhân tử \( x^2 + 2x + 5 \): Delta = \( 2^2 – 4 \times 1 \times 5 = 4 – 20 = -16 < 0 \), nên không phân tích được nữa.

Vậy, đa thức \( (x^2 + 2x)^2 + 9x^2 + 18x + 20 \) được phân tích thành nhân tử là \( (x^2 + 2x + 4)(x^2 + 2x + 5) \).

Câu 5: Phân tích đa thức \( (x^2 + x)^2 – 2(x^2 + x) – 15 \) thành nhân tử.

Lời giải:

Đây là một dạng bài rất quen thuộc với chúng ta rồi. Ta đặt \( e = x^2 + x \). Đa thức trở thành:

\( e^2 – 2e – 15 \)

Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng \( -15 \) và tổng bằng \( -2 \). Hai số đó là \( -5 \) và \( 3 \).

Ta tách hạng tử \( -2e \) thành \( -5e + 3e \):

\( e^2 – 5e + 3e – 15 \)

Nhóm các hạng tử lại:

\( (e^2 – 5e) + (3e – 15) \)

Đặt nhân tử chung ra ngoài của mỗi nhóm:

\( e(e – 5) + 3(e – 5) \)

Đặt nhân tử chung \( (e – 5) \) ra ngoài:

\( (e – 5)(e + 3) \)

Cuối cùng, thay \( e = x^2 + x \) trở lại:

\( (x^2 + x – 5)(x^2 + x + 3) \)

Kiểm tra tiếp các nhân tử:

Nhân tử \( x^2 + x – 5 \): Delta = \( 1^2 – 4 \times 1 \times (-5) = 1 + 20 = 21 > 0 \). Có thể phân tích tiếp, nhưng để đơn giản, ta có thể để nguyên hoặc tìm nghiệm căn thức.

Nhân tử \( x^2 + x + 3 \): Delta = \( 1^2 – 4 \times 1 \times 3 = 1 – 12 = -11 < 0 \), nên không phân tích được nữa.

Vậy, đa thức \( (x^2 + x)^2 – 2(x^2 + x) – 15 \) được phân tích thành nhân tử là \( (x^2 + x – 5)(x^2 + x + 3) \).

Câu 6: Phân tích đa thức \( (x^2 + 4x^2)^2 – 2(x^2 + 4x) – 15 \) thành nhân tử.

Lời giải:

Câu này có một chút khác biệt ở số hạng đầu tiên. \( x^2 + 4x^2 \) có thể rút gọn thành \( 5x^2 \). Tuy nhiên, ta xem xét ý đồ của đề bài. Có lẽ đề bài muốn chúng ta nhóm \( x^2 \) ra khỏi \( x^2 + 4x \).

Nếu ta xét \( (x^2 + 4x)^2 \), thì số hạng \( -2(x^2 + 4x) \) khớp với nó. Vậy ta sẽ nhóm \( x^2+4x \).

Ta viết lại đa thức:

\( (x^2 + 4x)^2 – 2(x^2 + 4x) – 15 \)

Đây chính là dạng bài của câu 5, với \( x^2 + 4x \) thay cho \( x^2 + x \).

Đặt \( f = x^2 + 4x \). Đa thức trở thành:

\( f^2 – 2f – 15 \)

Chúng ta đã phân tích \( y^2 – 2y – 15 \) ở câu trên thành \( (y-5)(y+3) \). Tương tự, ta có:

\( (f – 5)(f + 3) \)

Cuối cùng, thay \( f = x^2 + 4x \) trở lại:

\( (x^2 + 4x – 5)(x^2 + 4x + 3) \)

Kiểm tra tiếp các nhân tử:

Nhân tử \( x^2 + 4x – 5 \): Tìm hai số có tích bằng \( -5 \) và tổng bằng \( 4 \). Hai số đó là \( 5 \) và \( -1 \).

\( x^2 + 5x – x – 5 = x(x+5) – 1(x+5) = (x+5)(x-1) \)

Nhân tử \( x^2 + 4x + 3 \): Tìm hai số có tích bằng \( 3 \) và tổng bằng \( 4 \). Hai số đó là \( 1 \) và \( 3 \).

\( x^2 + x + 3x + 3 = x(x+1) + 3(x+1) = (x+1)(x+3) \)

Vậy, đa thức \( (x^2 + 4x^2)^2 – 2(x^2 + 4x) – 15 \) được phân tích thành nhân tử là \( (x+5)(x-1)(x+1)(x+3) \).

Các em thấy đấy, dạng bài này chủ yếu xoay quanh việc nhận dạng các biểu thức giống nhau và sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về việc phân tích tam thức bậc hai. Khi đã phân tích được thành nhân tử, chúng ta cần kiểm tra xem các nhân tử con có thể phân tích được nữa hay không.

Các em hãy xem lại bài giảng và tự luyện tập thêm để nắm vững kiến thức này nhé. Nếu có câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô!