Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau xét tính chẵn lẻ của hai hàm số đã cho. Đây là một dạng bài rất cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 11, giúp các em hiểu rõ hơn về tính đối xứng của đồ thị hàm số.

Trước khi đi vào giải bài, thầy xin nhắc lại định nghĩa về hàm số chẵn và hàm số lẻ:

Một hàm số \(f(x)\) được gọi là:

• Hàm số chẵn nếu với mọi \(x\) thuộc tập xác định \(D\), ta có \(-x\) cũng thuộc \(D\) và \(f(-x) = f(x)\). Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.
• Hàm số lẻ nếu với mọi \(x\) thuộc tập xác định \(D\), ta có \(-x\) cũng thuộc \(D\) và \(f(-x) = -f(x)\). Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O.

Nếu hàm số không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên, thì nó là hàm số không chẵn không lẻ.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng xét từng hàm số nhé!

—

Bài 1: Xét tính chẵn lẻ của hàm số \(y = x^2 \cdot \cos x\)

Để xét tính chẵn lẻ của hàm số này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Hàm số \(f(x) = x^2 \cdot \cos x\).
Với mọi giá trị của \(x\), \(x^2\) luôn xác định và \(\cos x\) cũng luôn xác định.

Vậy, tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Với mọi \(x \in D\), ta có \(-x \in D\). (Điều kiện cần để xét tính chẵn lẻ đã được thỏa mãn).

Bước 2: Tính \(f(-x)\).

Ta thay \(x\) bằng \(-x\) vào biểu thức của hàm số:

\(f(-x) = (-x)^2 \cdot \cos(-x)\)

Bước 3: So sánh \(f(-x)\) với \(f(x)\) hoặc \(-f(x)\).

Chúng ta cần nhớ lại các tính chất của hàm số lũy thừa và hàm số lượng giác cơ bản:

• \((-x)^2 = x^2\) (vì lũy thừa bậc chẵn).
• \(\cos(-x) = \cos x\) (vì hàm cosin là hàm số chẵn).

Áp dụng các tính chất này vào biểu thức của \(f(-x)\), ta được:

\(f(-x) = x^2 \cdot \cos x\)

Quan sát kết quả, ta thấy \(x^2 \cdot \cos x\) chính là biểu thức của \(f(x)\) ban đầu.

Vậy, ta có \(f(-x) = f(x)\).

Kết luận:

Dựa vào định nghĩa, vì \(f(-x) = f(x)\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định, nên hàm số \(y = x^2 \cdot \cos x\) là hàm số chẵn.

—

Bài 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số \(y = 3x \cdot \sin x\)

Chúng ta cũng sẽ thực hiện các bước tương tự như trên:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Hàm số \(g(x) = 3x \cdot \sin x\). (Thầy dùng \(g(x)\) để phân biệt với hàm số trước nhé).
Với mọi giá trị của \(x\), \(3x\) luôn xác định và \(\sin x\) cũng luôn xác định.

Vậy, tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Với mọi \(x \in D\), ta có \(-x \in D\). (Điều kiện cần đã được thỏa mãn).

Bước 2: Tính \(g(-x)\).

Ta thay \(x\) bằng \(-x\) vào biểu thức của hàm số:

\(g(-x) = 3(-x) \cdot \sin(-x)\)

Bước 3: So sánh \(g(-x)\) với \(g(x)\) hoặc \(-g(x)\).

Chúng ta cần nhớ lại các tính chất sau:

• \(3(-x) = -3x\).
• \(\sin(-x) = -\sin x\) (vì hàm sin là hàm số lẻ).

Áp dụng các tính chất này vào biểu thức của \(g(-x)\), ta được:

\(g(-x) = (-3x) \cdot (-\sin x)\)

Khi nhân hai dấu âm với nhau, ta sẽ được dấu dương:

\(g(-x) = 3x \cdot \sin x\)

Quan sát kết quả, ta thấy \(3x \cdot \sin x\) chính là biểu thức của \(g(x)\) ban đầu.

Vậy, ta có \(g(-x) = g(x)\).

Kết luận:

Dựa vào định nghĩa, vì \(g(-x) = g(x)\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định, nên hàm số \(y = 3x \cdot \sin x\) là hàm số chẵn.

—

Qua hai ví dụ này, các em có thể thấy việc xét tính chẵn lẻ của hàm số không quá phức tạp, quan trọng là chúng ta phải nhớ các định nghĩa và tính chất của các hàm số cơ bản. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức này nhé!