Bài toán: Chứng minh
a) (\(n^{5}\) – 5\(n^{3}\) + 4n) chia hết cho 120
b) \(n^{5}\) – n chia hết cho 5

Giải chi tiết

Phần a) Chứng minh (\(n^{5}\) – 5\(n^{3}\) + 4n) chia hết cho 120

Trước hết, chúng ta cần phân tích biểu thức đã cho.
Đặt A = \(n^{5}\) – 5\(n^{3}\) + 4n

Ta có thể nhóm các hạng tử lại để tìm nhân tử chung:
A = \(n^{5}\) – n – 5\(n^{3}\) + 5n
A = ( \(n^{5}\) – n ) – 5( \(n^{3}\) – n )

Bây giờ, chúng ta phân tích từng nhóm:
Nhóm 1: \(n^{5}\) – n = n(\(n^{4}\) – 1) = n(\(n^{2}\) – 1)(\(n^{2}\) + 1)
= n(n – 1)(n + 1)(\(n^{2}\) + 1)

Nhóm 2: \(n^{3}\) – n = n(\(n^{2}\) – 1) = n(n – 1)(n + 1)

Thay trở lại biểu thức A:
A = n(n – 1)(n + 1)(\(n^{2}\) + 1) – 5n(n – 1)(n + 1)
A = n(n – 1)(n + 1) [ (\(n^{2}\) + 1) – 5 ]
A = n(n – 1)(n + 1) (\(n^{2}\) – 4)
A = n(n – 1)(n + 1) (n – 2)(n + 2)

Bây giờ, chúng ta sắp xếp lại các nhân tử theo thứ tự tăng dần:
A = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)

Đây là tích của 5 số nguyên liên tiếp. Chúng ta cần chứng minh rằng tích này chia hết cho 120.
Ta biết rằng 120 = 3 5 8.
Để chứng minh A chia hết cho 120, ta cần chứng minh A chia hết cho 3, chia hết cho 5 và chia hết cho 8.

1. Chứng minh A chia hết cho 3:
Trong 5 số nguyên liên tiếp (n – 2), (n – 1), n, (n + 1), (n + 2), chắc chắn sẽ có ít nhất một số chia hết cho 3. Do đó, tích của chúng A chia hết cho 3.

2. Chứng minh A chia hết cho 5:
Trong 5 số nguyên liên tiếp (n – 2), (n – 1), n, (n + 1), (n + 2), chắc chắn sẽ có ít nhất một số chia hết cho 5. Do đó, tích của chúng A chia hết cho 5.

3. Chứng minh A chia hết cho 8:
Trong 5 số nguyên liên tiếp, luôn có ít nhất 2 số chẵn.
Ta xét các trường hợp:
– Nếu trong 5 số có hai số chẵn liên tiếp, ví dụ n và n+2. Nếu n chia hết cho 2, thì n+2 cũng chia hết cho 2. Tích của chúng là n(n+2).
– Nếu có 3 số chẵn liên tiếp, thì chắc chắn tích của chúng sẽ chia hết cho 8 (ví dụ: 2*4*6 = 48 chia hết cho 8).
– Xét trong 5 số nguyên liên tiếp: (n – 2), (n – 1), n, (n + 1), (n + 2).
– Luôn có ít nhất 2 số chẵn.
– Trong 2 số chẵn liên tiếp, một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4. Ví dụ: nếu n là số chẵn, ta có n và n+2. Nếu n chia hết cho 4, thì n(n+2) chia hết cho 4*2=8. Nếu n chia 4 dư 2, thì n = 4k+2, suy ra n+2 = 4k+4 = 4(k+1), chia hết cho 4. Khi đó, n chia hết cho 2, n+2 chia hết cho 4. Tích n(n+2) chia hết cho 2*4 = 8.
– Hoặc, ta có thể xét sự xen kẽ của số chẵn và số lẻ. Trong 5 số nguyên liên tiếp, có ít nhất 2 số chẵn và 3 số lẻ hoặc 3 số chẵn và 2 số lẻ.
– Một cách khác: Trong 5 số nguyên liên tiếp, luôn có một số chia hết cho 4 và một số chia hết cho 2 (hoặc có số chia hết cho 8).
– Nếu có 3 số chẵn, thì chắc chắn tích chia hết cho 8.
– Nếu có 2 số chẵn, chúng cách nhau 2 đơn vị. Gọi hai số chẵn đó là 2k và 2k+2. Tích là 2k(2k+2) = 4k(k+1). Vì k(k+1) luôn chia hết cho 2 (tích của hai số nguyên liên tiếp), nên 4k(k+1) chia hết cho 4*2 = 8.
Do đó, tích A = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) luôn chia hết cho 8.

Vì A chia hết cho 3, chia hết cho 5 và chia hết cho 8, mà 3, 5, 8 đôi một nguyên tố cùng nhau, nên A chia hết cho tích của chúng là 3 5 8 = 120.

Vậy, (\(n^{5}\) – 5\(n^{3}\) + 4n) chia hết cho 120.

Phần b) Chứng minh \(n^{5}\) – n chia hết cho 5

Đặt B = \(n^{5}\) – n

Ta phân tích biểu thức B:
B = n(\(n^{4}\) – 1)
B = n(\(n^{2}\) – 1)(\(n^{2}\) + 1)
B = n(n – 1)(n + 1)(\(n^{2}\) + 1)

Chúng ta cần chứng minh B chia hết cho 5.
Có hai cách để giải bài này:

Cách 1: Sử dụng tính chất chia hết của tích

B = n(n – 1)(n + 1)(\(n^{2}\) + 1)

Chúng ta cần chứng minh B chia hết cho 5.
Xét biểu thức \(n^{2}\) + 1. Ta có thể viết lại nó như sau:
\(n^{2}\) + 1 = \(n^{2}\) – 4 + 5 = (n – 2)(n + 2) + 5

Thay vào biểu thức B:
B = n(n – 1)(n + 1)[ (n – 2)(n + 2) + 5 ]
B = n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) + 5n(n – 1)(n + 1)

Ta thấy rằng 5n(n – 1)(n + 1) chắc chắn chia hết cho 5.
Còn phần còn lại là n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2). Đây là tích của 5 số nguyên liên tiếp (như đã phân tích ở phần a). Tích của 5 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 5.
Do đó, cả hai phần của B đều chia hết cho 5, nên B chia hết cho 5.

Cách 2: Sử dụng đồng dư thức (hoặc xét các trường hợp theo số dư khi chia cho 5)

Ta xét các trường hợp của n khi chia cho 5:
– Trường hợp 1: n chia hết cho 5. Tức là n = 5k.
Thì \(n^{5}\) – n = (5k)\(^5\) – 5k. Rõ ràng biểu thức này chia hết cho 5.
– Trường hợp 2: n chia 5 dư 1. Tức là n = 5k + 1.
Thì n – 1 = 5k.
\(n^{5}\) – n = n(n – 1)(n + 1)(\(n^{2}\) + 1). Vì n – 1 = 5k nên \(n^{5}\) – n chia hết cho 5.
– Trường hợp 3: n chia 5 dư 2. Tức là n = 5k + 2.
Thì \(n^{2}\) + 1 = (5k + 2)\(^2\) + 1 = (25k\(^2\) + 20k + 4) + 1 = 25k\(^2\) + 20k + 5 = 5(5k\(^2\) + 4k + 1).
Do đó \(n^{2}\) + 1 chia hết cho 5.
Suy ra \(n^{5}\) – n chia hết cho 5.
– Trường hợp 4: n chia 5 dư 3. Tức là n = 5k + 3.
Thì \(n^{2}\) + 1 = (5k + 3)\(^2\) + 1 = (25k\(^2\) + 30k + 9) + 1 = 25k\(^2\) + 30k + 10 = 5(5k\(^2\) + 6k + 2).
Do đó \(n^{2}\) + 1 chia hết cho 5.
Suy ra \(n^{5}\) – n chia hết cho 5.
– Trường hợp 5: n chia 5 dư 4. Tức là n = 5k + 4.
Thì n + 1 = 5k + 5 = 5(k + 1).
Do đó n + 1 chia hết cho 5.
Suy ra \(n^{5}\) – n chia hết cho 5.

Như vậy, trong mọi trường hợp, \(n^{5}\) – n đều chia hết cho 5.

Một cách khác ngắn gọn hơn cho phần b) là sử dụng định lý Fermat nhỏ.
Định lý Fermat nhỏ phát biểu rằng nếu p là một số nguyên tố, thì với mọi số nguyên n, ta có \(n^{p}\) ≡ n (mod p).
Trong trường hợp này, p = 5 là một số nguyên tố.
Áp dụng định lý Fermat nhỏ, ta có:
\(n^{5}\) ≡ n (mod 5)
Điều này có nghĩa là \(n^{5}\) – n chia hết cho 5.

Vậy, \(n^{5}\) – n chia hết cho 5.

Các em có câu hỏi nào không? Nếu có, hãy mạnh dạn hỏi nhé. Chúng ta đã hoàn thành hai bài toán chứng minh tính chia hết rất quan trọng. Các em về nhà ôn tập kỹ các phương pháp này.