Bài toán: Xác định tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau:
\( y = f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} \)

Lời giải chi tiết:

Để xác định tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, chúng ta cần tìm các giá trị của \(x\) mà tại đó mẫu số của hàm số bằng 0 (nếu có) và đồng thời xét giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến tới các giá trị đó.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số.

Hàm số \( y = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} \) có hai điều kiện:

1. Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \( x^2 + 1 \ge 0 \). Điều này luôn đúng với mọi số thực \(x\) vì \(x^2 \ge 0\), do đó \(x^2 + 1 \ge 1 > 0\).
2. Mẫu số phải khác 0: \( x \neq 0 \).

Vậy, tập xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \setminus \{0\} \).

Bước 2: Tìm các điểm mà mẫu số bằng 0.

Trong trường hợp này, mẫu số là \(x\). Ta có \(x = 0\) làm cho mẫu số bằng 0. Đây là điểm cần xem xét để tìm tiệm cận đứng.

Bước 3: Xét giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến tới điểm làm mẫu số bằng 0.

Chúng ta cần xét giới hạn của \(f(x)\) khi \(x\) tiến tới 0.

Xét giới hạn bên phải của 0: \( x \to 0^+ \)

Khi \(x\) tiến tới 0 từ phía bên phải (tức là \(x\) nhận các giá trị dương rất nhỏ, ví dụ 0.1, 0.01, 0.001,…), ta có:

• Tử số: \( \sqrt{x^2 + 1} \). Khi \( x \to 0^+ \), \( x^2 \to 0 \), nên \( \sqrt{x^2 + 1} \to \sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1 \).
• Mẫu số: \( x \). Khi \( x \to 0^+ \), \( x \) tiến tới 0 và nhận giá trị dương.

Do đó, giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến tới 0 từ bên phải là:

\( \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \frac{1}{0^+} = +\infty \)

Vì giới hạn này bằng \(+\infty\), nên đường thẳng \( x = 0 \) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Xét giới hạn bên trái của 0: \( x \to 0^- \)

Khi \(x\) tiến tới 0 từ phía bên trái (tức là \(x\) nhận các giá trị âm rất nhỏ, ví dụ -0.1, -0.01, -0.001,…), ta có:

• Tử số: \( \sqrt{x^2 + 1} \). Khi \( x \to 0^- \), \( x^2 \to 0 \), nên \( \sqrt{x^2 + 1} \to \sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1 \).
• Mẫu số: \( x \). Khi \( x \to 0^- \), \( x \) tiến tới 0 và nhận giá trị âm.

Do đó, giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến tới 0 từ bên trái là:

\( \lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \frac{1}{0^-} = -\infty \)

Vì giới hạn này bằng \(-\infty\), điều này cũng xác nhận rằng đường thẳng \( x = 0 \) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Kết luận:

Dựa trên việc xét các giới hạn, ta thấy rằng khi \(x\) tiến tới 0, giá trị của hàm số tiến tới \(+\infty\) hoặc \(-\infty\). Do đó, đường thẳng \( \mathbf{x = 0} \) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Các em lưu ý, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) là đường thẳng \( x = a \) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

• \( \lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty \)
• \( \lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty \)
• \( \lim_{x \to a^-} f(x) = +\infty \)
• \( \lim_{x \to a^-} f(x) = -\infty \)

Trong bài toán này, \(a = 0\).

Hy vọng bài giảng này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách tìm tiệm cận đứng. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!