Chào em! Thầy thấy câu này “HẾT ĐIỂM R :))” là không đúng đâu nhé! Đây là một dạng bài rất cơ bản và quan trọng, mình cùng nhau xử lý cẩn thận để không bị mất điểm oan uổng nào cả!

Để tìm đường tiệm cận ngang (ĐTCN) của đồ thị hàm số, chúng ta cần tính giới hạn của hàm số khi \(x \to +\infty\) và khi \(x \to -\infty\).

Hàm số của chúng ta là: \(y = \frac{x-2}{x^2-4}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào các bước chi tiết:

Bước 1: Phân tích và rút gọn hàm số (nếu có thể)

Trước khi tính giới hạn, chúng ta nên xem xét kỹ biểu thức của hàm số. Mẫu số \(x^2-4\) là một hằng đẳng thức đáng nhớ, có thể phân tích được:

\[x^2-4 = (x-2)(x+2)\]

Vậy, hàm số có thể viết lại là:

\[y = \frac{x-2}{(x-2)(x+2)}\]

Ta thấy cả tử số và mẫu số đều có nhân tử \((x-2)\). Do đó, với điều kiện \(x \neq 2\), chúng ta có thể rút gọn biểu thức:

\[y = \frac{1}{x+2} \quad \text{với } x \neq 2\]

Lưu ý quan trọng: Việc rút gọn này cho chúng ta biết tại \(x=2\), hàm số không xác định và đồ thị có một “lỗ hổng” (hole) chứ không phải là đường tiệm cận đứng. Đường tiệm cận đứng sẽ xảy ra khi mẫu số bằng 0 nhưng tử số khác 0 (sau khi đã rút gọn).

Bước 2: Tính giới hạn của hàm số khi \(x \to \pm\infty\)

Để tìm đường tiệm cận ngang, chúng ta tính giới hạn của \(y\) khi \(x \to +\infty\) và \(x \to -\infty\). Chúng ta có thể dùng biểu thức đã rút gọn hoặc biểu thức gốc, kết quả sẽ như nhau.

Cách 1: Sử dụng biểu thức gốc

\[\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-2}{x^2-4}\]

Để tính giới hạn này, chúng ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của \(x\) ở mẫu, tức là \(x^2\):

\[\lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{x}{x^2} – \frac{2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} – \frac{4}{x^2}}\]

\[\lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x} – \frac{2}{x^2}}{1 – \frac{4}{x^2}}\]

Khi \(x \to \pm\infty\), các số hạng \(\frac{1}{x}\), \(\frac{2}{x^2}\), \(\frac{4}{x^2}\) đều tiến về 0.

Vậy, giới hạn sẽ là:

\[\frac{0 – 0}{1 – 0} = \frac{0}{1} = 0\]

Cách 2: Sử dụng biểu thức đã rút gọn

\[\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x+2}\]

Khi \(x \to +\infty\), \(x+2 \to +\infty\). Do đó, \(\frac{1}{x+2} \to 0\).

Khi \(x \to -\infty\), \(x+2 \to -\infty\). Do đó, \(\frac{1}{x+2} \to 0\).

Cả hai cách đều cho cùng một kết quả là 0.

Bước 3: Kết luận

Vì \(\lim_{x \to \pm\infty} y = 0\), nên đường thẳng \(y=0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Tổng kết:

Đồ thị hàm số \(y=\frac{x-2}{x^2-4}\) có đường tiệm cận ngang là \(y=0\).

Thầy hy vọng với phần trình bày chi tiết này, em đã hiểu rõ hơn về cách tìm đường tiệm cận ngang và không còn lo lắng về việc “HẾT ĐIỂM” nữa nhé! Cố gắng luyện tập để nắm vững dạng bài này nha!