đề: biến đổi biểu thức trong căn thành bình phương của một tổng( hiệu) rồi từ đó…
17, √11+2√18
18, √7+2√18
19, √7-4√3
20, √12-2√35
21, √9+4√5
Chúng ta sẽ đi qua từng bài tập một. Yêu cầu của cô là các em hãy theo dõi thật kỹ từng bước biến đổi nhé!
Bài tập 17: \( \sqrt{11+2\sqrt{18}} \)
Mục tiêu của chúng ta là đưa biểu thức dưới dấu căn \( 11+2\sqrt{18} \) về dạng \( (a+b)^2 \) hoặc \( (a-b)^2 \). Chúng ta nhận thấy có dạng \( A + 2\sqrt{B} \). Ở đây, \( A = 11 \) và \( B = 18 \).
Chúng ta cần tìm hai số \( a \) và \( b \) sao cho \( a+b = A = 11 \) và \( a \cdot b = B = 18 \).
Hãy nghĩ xem có những cặp số nào nhân với nhau bằng 18. Đó là: 1 và 18, 2 và 9, 3 và 6.
Bây giờ, ta kiểm tra xem cặp số nào cộng lại bằng 11:
- 1 + 18 = 19 (không phải)
- 2 + 9 = 11 (chính là cặp số chúng ta cần!)
- 3 + 6 = 9 (không phải)
Vậy, hai số đó là 2 và 9.
Ta sẽ viết lại biểu thức dưới dấu căn như sau:
\( 11+2\sqrt{18} = 9 + 2 + 2\sqrt{9 \cdot 2} \)
\( = 9 + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{9} + 2 \cdot 2 \)
\( = 9 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + 2 \)
\( = 9 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 + 2 \)
Ơ, cô nhầm một chút. Chúng ta cần tìm \( a \) và \( b \) sao cho \( a+b = 11 \) và \( ab = 18 \). Ta đã tìm được \( a=9, b=2 \).
Vậy ta viết lại biểu thức dưới dấu căn là:
\( 11+2\sqrt{18} = 9 + 2 + 2\sqrt{9 \cdot 2} \)
Nhưng để về dạng \( (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} \), ta cần \( a+b=11 \) và \( ab=18 \). Ta đã tìm được hai số đó là 9 và 2.
Ta sẽ viết lại biểu thức \( 11+2\sqrt{18} \) như sau:
\( 11+2\sqrt{18} = 9 + 2 + 2\sqrt{9 \cdot 2} \)
Ta có thể thấy ngay đây chính là dạng \( (\sqrt{9} + \sqrt{2})^2 \)
\( = (\sqrt{9} + \sqrt{2})^2 \)
Do đó:
\( \sqrt{11+2\sqrt{18}} = \sqrt{(\sqrt{9} + \sqrt{2})^2} \)
Vì \( \sqrt{9} + \sqrt{2} \) là một số dương, nên:
\( \sqrt{(\sqrt{9} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{9} + \sqrt{2} = 3 + \sqrt{2} \)
Vậy, \( \sqrt{11+2\sqrt{18}} = 3 + \sqrt{2} \).
Bài tập 18: \( \sqrt{7+2\sqrt{18}} \)
Tương tự, ta cần tìm hai số \( a \) và \( b \) sao cho \( a+b = 7 \) và \( a \cdot b = 18 \).
Các cặp số có tích bằng 18 là: 1 và 18, 2 và 9, 3 và 6.
Kiểm tra tổng:
- 1 + 18 = 19 (không phải)
- 2 + 9 = 11 (không phải)
- 3 + 6 = 9 (không phải)
Có vẻ như bài này có một chút nhầm lẫn trong đề bài hoặc cô đã hiểu nhầm. Chúng ta cần tìm \( a, b \) sao cho \( a+b=7 \) và \( ab=18 \). Nếu \( ab=18 \), thì các cặp \( (a,b) \) là
\(17) \sqrt{11 + 2\sqrt{18}}\)
\(= \sqrt{9 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + 2}\)
\(= \sqrt{3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}\)
\(= \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2}\)
\(= 3 + \sqrt{2}\) \((\)vì \(3 + \sqrt{2} > 0)\)
\(18) \sqrt{7 + 2\sqrt{18}}\)
Không đưa được về dạng bình phương của một tổng (hiệu), nên không phá bớt được một lớp căn
\(19) \sqrt{7 – 4\sqrt{3}}\)
\(= \sqrt{4 – 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + 3}\)
\(= \sqrt{2^2 – 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}\)
\(= \sqrt{(2 – \sqrt{3})^2}\)
\(= 2 – \sqrt{3}\) \((\)vì \(2 – \sqrt{3} > 0)\)
\(20) \sqrt{12 – 2\sqrt{35}}\)
\(= \sqrt{7 – 2\sqrt{7}\sqrt{5} + 5}\)
\(= \sqrt{(\sqrt{7})^2 – 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}\)
\(= \sqrt{(\sqrt{7} – \sqrt{5})^2}\)
\(= \sqrt{7} – \sqrt{5}\) \((\)vì \(\sqrt{7} – \sqrt{5} > 0)\)
\(21) \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}\)
\(= \sqrt{5 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + 4}\)
\(= \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2}\)
\(= \sqrt{(\sqrt{5} + 2)^2}\)
\(= \sqrt{5} + 2\) \((\)vì \(\sqrt{5} + 2 > 0)\)
Đáp án+Giải thích các bước giải:
\(17)\sqrt{11+2\sqrt[18}}\)
\(=\sqrt{11+2\sqrt{3^{2}.2}}\)
\(=\sqrt{11+2.3\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{11+6\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{3^{2}+2.3.\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(3+\sqrt{2})^{2}}\)
\(=|3+\sqrt{2}|\)
\(=3+\sqrt{2}\)
\(18)\sqrt{7+2\sqrt{18}}\)
\(->\) Lỗi đề
\(19)\sqrt{7-4\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt{2^{2}-2.2.\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}\)
\(=\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}\)
\(=|2-\sqrt{3}|\)
\(=2-\sqrt{3}\)
\(20)\sqrt{12-2\sqrt{35}}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{7})^{2}-2\sqrt{7}.\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^{2}}\)
\(=|\sqrt{7}-\sqrt{5}|\)
\(=\sqrt{7}-\sqrt{5}\)
\(21)\sqrt{9+4\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{2^{2}+2.2.\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(2+\sqrt{5})^{2}}\)
\(=|2+\sqrt{5}|\)
\(=2+\sqrt{5}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment