Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài tập rút gọn biểu thức đại số. Mục tiêu của chúng ta không chỉ là rút gọn mà còn là chứng minh rằng giá trị của các biểu thức này không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\). Điều này có nghĩa là sau khi rút gọn, chúng ta sẽ thu được một hằng số.

Các em hãy chú ý theo dõi từng bước thầy hướng dẫn nhé, đặc biệt là các quy tắc nhân đa thức và quy tắc dấu khi bỏ ngoặc!

Bài tập 1: Rút gọn và chứng minh biểu thức \(5x^2−(2x+1)(x−2)−3x(x+1)+7\) không phụ thuộc vào \(x\).

Lời giải:

Chúng ta sẽ thực hiện từng bước:

Bước 1: Thực hiện phép nhân các đa thức.

Ta có:

• Phép nhân thứ nhất: \((2x+1)(x−2)\)

\( (2x+1)(x−2) = 2x \cdot x + 2x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) \)
\( = 2x^2 – 4x + x – 2 \)
\( = 2x^2 – 3x – 2 \)

• Phép nhân thứ hai: \(3x(x+1)\)

\( 3x(x+1) = 3x \cdot x + 3x \cdot 1 \)
\( = 3x^2 + 3x \)

Bước 2: Thay các kết quả vừa tính vào biểu thức ban đầu và bỏ ngoặc.

Biểu thức ban đầu là: \(5x^2−(2x+1)(x−2)−3x(x+1)+7\)

Thay vào, ta được:

\( 5x^2 – (2x^2 – 3x – 2) – (3x^2 + 3x) + 7 \)

Lưu ý quan trọng: Khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ phía trước, chúng ta phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong ngoặc.

\( = 5x^2 – 2x^2 + 3x + 2 – 3x^2 – 3x + 7 \)

Bước 3: Gom các hạng tử đồng dạng.

Gom các hạng tử chứa \(x^2\) lại với nhau, các hạng tử chứa \(x\) lại với nhau và các hằng số lại với nhau:

\( = (5x^2 – 2x^2 – 3x^2) + (3x – 3x) + (2 + 7) \)

Bước 4: Thực hiện phép cộng/trừ các hạng tử đồng dạng.

• Đối với hạng tử \(x^2\): \(5 – 2 – 3 = 0\). Vậy \(0x^2 = 0\).
• Đối với hạng tử \(x\): \(3 – 3 = 0\). Vậy \(0x = 0\).
• Đối với hằng số: \(2 + 7 = 9\).

Vậy, biểu thức sau khi rút gọn là:

\( = 0 + 0 + 9 \)

\( = 9 \)

Kết luận:

Giá trị của biểu thức \(5x^2−(2x+1)(x−2)−3x(x+1)+7\) sau khi rút gọn là \(9\). Đây là một hằng số, không chứa biến \(x\). Do đó, giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\).

Bài tập 2: Rút gọn và chứng minh biểu thức \((3x−1)(2x+3)−(x−5)(6x−1)−38x\) không phụ thuộc vào \(x\).

Lời giải:

Tương tự như bài trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước:

Bước 1: Thực hiện phép nhân các đa thức.

Ta có:

• Phép nhân thứ nhất: \((3x−1)(2x+3)\)

\( (3x−1)(2x+3) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 – 1 \cdot 2x – 1 \cdot 3 \)
\( = 6x^2 + 9x – 2x – 3 \)
\( = 6x^2 + 7x – 3 \)

• Phép nhân thứ hai: \((x−5)(6x−1)\)

\( (x−5)(6x−1) = x \cdot 6x + x \cdot (-1) – 5 \cdot 6x – 5 \cdot (-1) \)
\( = 6x^2 – x – 30x + 5 \)
\( = 6x^2 – 31x + 5 \)

Bước 2: Thay các kết quả vừa tính vào biểu thức ban đầu và bỏ ngoặc.

Biểu thức ban đầu là: \((3x−1)(2x+3)−(x−5)(6x−1)−38x\)

Thay vào, ta được:

\( (6x^2 + 7x – 3) – (6x^2 – 31x + 5) – 38x \)

Lưu ý quan trọng: Lại một lần nữa, khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ phía trước, chúng ta phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong ngoặc.

\( = 6x^2 + 7x – 3 – 6x^2 + 31x – 5 – 38x \)

Bước 3: Gom các hạng tử đồng dạng.

Gom các hạng tử chứa \(x^2\) lại với nhau, các hạng tử chứa \(x\) lại với nhau và các hằng số lại với nhau:

\( = (6x^2 – 6x^2) + (7x + 31x – 38x) + (-3 – 5) \)

Bước 4: Thực hiện phép cộng/trừ các hạng tử đồng dạng.

• Đối với hạng tử \(x^2\): \(6 – 6 = 0\). Vậy \(0x^2 = 0\).
• Đối với hạng tử \(x\): \(7 + 31 – 38 = 38 – 38 = 0\). Vậy \(0x = 0\).
• Đối với hằng số: \(-3 – 5 = -8\).

Vậy, biểu thức sau khi rút gọn là:

\( = 0 + 0 – 8 \)

\( = -8 \)

Kết luận:

Giá trị của biểu thức \((3x−1)(2x+3)−(x−5)(6x−1)−38x\) sau khi rút gọn là \(-8\). Đây là một hằng số, không chứa biến \(x\). Do đó, giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\).

Qua hai bài tập này, các em đã thấy rằng việc cẩn thận trong từng phép tính, đặc biệt là quy tắc nhân đa thức và quy tắc dấu khi bỏ ngoặc, là chìa khóa để giải quyết bài toán một cách chính xác. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các kỹ năng này nhé!

Chúc các em học tốt!