Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau “giải phẫu” các biểu thức đại số để rút gọn chúng. Đây là một kỹ năng rất quan trọng, giúp các em xử lý các bài toán phức tạp hơn sau này. Chúng ta sẽ áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ mà mình đã học nhé!

Hãy cùng bắt đầu nào!

—

Bài toán: Rút gọn các biểu thức sau

a. \((x-3y)^2-(x+3y)^2\)

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta có thể áp dụng hai phương pháp:

Cách 1: Khai triển từng bình phương rồi trừ đi.

Chúng ta sử dụng hằng đẳng thức \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) và \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Ta có:

\((x-3y)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = x^2 – 6xy + 9y^2\)

\((x+3y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2\)

Vậy, biểu thức ban đầu trở thành:

\( (x^2 – 6xy + 9y^2) – (x^2 + 6xy + 9y^2) \)

Bây giờ, chúng ta bỏ ngoặc và đổi dấu các hạng tử trong ngoặc sau:

\( = x^2 – 6xy + 9y^2 – x^2 – 6xy – 9y^2 \)

Thu gọn các hạng tử đồng dạng:

\( = (x^2 – x^2) + (-6xy – 6xy) + (9y^2 – 9y^2) \)

\( = 0 – 12xy + 0 \)

\( = -12xy \)

Cách 2: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).

Trong trường hợp này, ta xem \(A = (x-3y)\) và \(B = (x+3y)\).

Ta có:

\( A – B = (x-3y) – (x+3y) = x – 3y – x – 3y = -6y \)

\( A + B = (x-3y) + (x+3y) = x – 3y + x + 3y = 2x \)

Vậy, biểu thức ban đầu trở thành:

\( (A-B)(A+B) = (-6y)(2x) \)

\( = -12xy \)

Cả hai cách đều cho cùng một kết quả, nhưng cách thứ hai thường nhanh và gọn hơn nếu các em nhận ra được hằng đẳng thức thích hợp.

Đáp án: \((x-3y)^2-(x+3y)^2 = -12xy\)

—

b. \((3x+4y)^2\)

Đây là một bài tập trực tiếp áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Trong trường hợp này, ta có \(a = 3x\) và \(b = 4y\).

Áp dụng công thức, ta được:

\( (3x+4y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (4y) + (4y)^2 \)

Tiến hành tính toán các hạng tử:

\( (3x)^2 = 9x^2 \)

\( 2 \cdot (3x) \cdot (4y) = 24xy \)

\( (4y)^2 = 16y^2 \)

Vậy, biểu thức sau khi rút gọn là:

\( = 9x^2 + 24xy + 16y^2 \)

Đáp án: \((3x+4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2\)

—

c. \((2x+y)^3 + (4x-3y)^3\)

Đối với biểu thức này, chúng ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức tổng của hai lập phương: \(A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 – AB + B^2)\).

Ở đây, ta đặt \(A = (2x+y)\) và \(B = (4x-3y)\).

Bước 1: Tính \(A+B\)

\( A+B = (2x+y) + (4x-3y) \)

\( = 2x + y + 4x – 3y \)

\( = (2x+4x) + (y-3y) \)

\( = 6x – 2y \)

Bước 2: Tính \(A^2\)

\( A^2 = (2x+y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(y) + y^2 = 4x^2 + 4xy + y^2 \)

Bước 3: Tính \(B^2\)

\( B^2 = (4x-3y)^2 = (4x)^2 – 2(4x)(3y) + (3y)^2 = 16x^2 – 24xy + 9y^2 \)

Bước 4: Tính \(AB\)

\( AB = (2x+y)(4x-3y) \)

\( = 2x(4x) + 2x(-3y) + y(4x) + y(-3y) \)

\( = 8x^2 – 6xy + 4xy – 3y^2 \)

\( = 8x^2 – 2xy – 3y^2 \)

Bước 5: Tính \(A^2 – AB + B^2\)

\( A^2 – AB + B^2 = (4x^2 + 4xy + y^2) – (8x^2 – 2xy – 3y^2) + (16x^2 – 24xy + 9y^2) \)

Bỏ ngoặc và đổi dấu:

\( = 4x^2 + 4xy + y^2 – 8x^2 + 2xy + 3y^2 + 16x^2 – 24xy + 9y^2 \)

Thu gọn các hạng tử đồng dạng:

Hạng tử \(x^2\): \(4x^2 – 8x^2 + 16x^2 = (4-8+16)x^2 = 12x^2\)

Hạng tử \(xy\): \(4xy + 2xy – 24xy = (4+2-24)xy = -18xy\)

Hạng tử \(y^2\): \(y^2 + 3y^2 + 9y^2 = (1+3+9)y^2 = 13y^2\)

Vậy, \(A^2 – AB + B^2 = 12x^2 – 18xy + 13y^2\)

Bước 6: Kết hợp \(A+B\) và \(A^2 – AB + B^2\)

\( (A+B)(A^2 – AB + B^2) = (6x – 2y)(12x^2 – 18xy + 13y^2) \)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân đa thức với đa thức:

\( = 6x(12x^2 – 18xy + 13y^2) – 2y(12x^2 – 18xy + 13y^2) \)

\( = (6x \cdot 12x^2) + (6x \cdot (-18xy)) + (6x \cdot 13y^2) + (-2y \cdot 12x^2) + (-2y \cdot (-18xy)) + (-2y \cdot 13y^2) \)

\( = 72x^3 – 108x^2y + 78xy^2 – 24x^2y + 36xy^2 – 26y^3 \)

Thu gọn các hạng tử đồng dạng:

Hạng tử \(x^3\): \(72x^3\)

Hạng tử \(x^2y\): \(-108x^2y – 24x^2y = -132x^2y\)

Hạng tử \(xy^2\): \(78xy^2 + 36xy^2 = 114xy^2\)

Hạng tử \(y^3\): \(-26y^3\)

Vậy, biểu thức cuối cùng là:

\( = 72x^3 – 132x^2y + 114xy^2 – 26y^3 \)

Đáp án: \((2x+y)^3 + (4x-3y)^3 = 72x^3 – 132x^2y + 114xy^2 – 26y^3\)

—

d. \((x-y)^3+(x+y)^3\)

Tương tự như câu c, chúng ta có thể sử dụng hằng đẳng thức tổng của hai lập phương \(A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 – AB + B^2)\).

Hoặc, trong trường hợp này, các em có thể khai triển trực tiếp từng lập phương và cộng lại, vì các hạng tử sẽ rút gọn khá đẹp mắt.

Cách 1: Khai triển từng lập phương rồi cộng lại.

Chúng ta sử dụng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu \((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\) và lập phương của một tổng \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).

Ta có:

\((x-y)^3 = x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3\)

\((x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\)

Bây giờ, chúng ta cộng hai biểu thức này lại:

\( (x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3) + (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) \)

Thu gọn các hạng tử đồng dạng:

\( = (x^3 + x^3) + (-3x^2y + 3x^2y) + (3xy^2 + 3xy^2) + (-y^3 + y^3) \)

\( = 2x^3 + 0 + 6xy^2 + 0 \)

\( = 2x^3 + 6xy^2 \)

Chúng ta có thể đặt nhân tử chung \(2x\):

\( = 2x(x^2 + 3y^2) \)

Cách 2: Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương.

Đặt \(A = (x-y)\) và \(B = (x+y)\).

Bước 1: Tính \(A+B\)

\( A+B = (x-y) + (x+y) = x – y + x + y = 2x \)

Bước 2: Tính \(A^2 – AB + B^2\)

\( A^2 = (x-y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 \)

\( B^2 = (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)

\( AB = (x-y)(x+y) = x^2 – y^2 \)

Vậy, \( A^2 – AB + B^2 = (x^2 – 2xy + y^2) – (x^2 – y^2) + (x^2 + 2xy + y^2) \)

Bỏ ngoặc và đổi dấu:

\( = x^2 – 2xy + y^2 – x^2 + y^2 + x^2 + 2xy + y^2 \)

Thu gọn các hạng tử đồng dạng:

Hạng tử \(x^2\): \(x^2 – x^2 + x^2 = x^2\)

Hạng tử \(xy\): \(-2xy + 2xy = 0\)

Hạng tử \(y^2\): \(y^2 + y^2 + y^2 = 3y^2\)

Vậy, \(A^2 – AB + B^2 = x^2 + 3y^2\)

Bước 3: Kết hợp \(A+B\) và \(A^2 – AB + B^2\)

\( (A+B)(A^2 – AB + B^2) = (2x)(x^2 + 3y^2) \)

\( = 2x \cdot x^2 + 2x \cdot 3y^2 \)

\( = 2x^3 + 6xy^2 \)

Cả hai cách đều cho cùng một kết quả. Cách khai triển trực tiếp có vẻ ngắn gọn hơn trong trường hợp này.

Đáp án: \((x-y)^3+(x+y)^3 = 2x^3 + 6xy^2 = 2x(x^2+3y^2)\)

—

Hy vọng phần giải thích chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách rút gọn các biểu thức đại số bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này nhé!

Chúc các em học tốt!