Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại và vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để giải quyết các bài toán tính giá trị biểu thức một cách hợp lí và nhanh chóng nhất nhé. Đây là một kiến thức rất quan trọng, giúp chúng ta tiết kiệm thời gian và tránh nhầm lẫn khi làm bài tập, đặc biệt với các số lớn hoặc phân số.

Bài 3. Tính giá trị biểu thức hợp lí:

a. \(x^2+4x+4\) tại \(x=98\)

Để tính giá trị biểu thức này một cách hợp lí, chúng ta cần nhận ra đây là một hằng đẳng thức quen thuộc.

Ta có biểu thức: \(x^2+4x+4\)

Chúng ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng: \(x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2\)

Đây chính là dạng của hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)

Áp dụng vào biểu thức của chúng ta, với \(a=x\) và \(b=2\), ta được:

\(x^2+4x+4 = (x+2)^2\)

Bây giờ, chúng ta chỉ cần thay giá trị \(x=98\) vào biểu thức đã rút gọn:

Tại \(x=98\), giá trị của biểu thức là:

\((98+2)^2 = (100)^2 = 10000\)

Vậy, giá trị của biểu thức \(x^2+4x+4\) tại \(x=98\) là \(10000\).

b. \(x^3+9x^2+27x+27\) tại \(x=97\)

Tương tự như câu a, biểu thức này cũng có dạng của một hằng đẳng thức.

Ta có biểu thức: \(x^3+9x^2+27x+27\)

Chúng ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng: \(x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3\)

Đây chính là dạng của hằng đẳng thức lập phương của một tổng: \((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

Áp dụng vào biểu thức của chúng ta, với \(a=x\) và \(b=3\), ta được:

\(x^3+9x^2+27x+27 = (x+3)^3\)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị \(x=97\) vào biểu thức đã rút gọn:

Tại \(x=97\), giá trị của biểu thức là:

\((97+3)^3 = (100)^3 = 1000000\)

Vậy, giá trị của biểu thức \(x^3+9x^2+27x+27\) tại \(x=97\) là \(1000000\).

c. \(49x^2-70x+25\) tại \(x=1/7\)

Đây cũng là một biểu thức có thể áp dụng hằng đẳng thức.

Ta có biểu thức: \(49x^2-70x+25\)

Chúng ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng: \((7x)^2 – 2 \cdot (7x) \cdot 5 + 5^2\)

Đây chính là dạng của hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\)

Áp dụng vào biểu thức của chúng ta, với \(a=7x\) và \(b=5\), ta được:

\(49x^2-70x+25 = (7x-5)^2\)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị \(x=1/7\) vào biểu thức đã rút gọn:

Tại \(x=1/7\), giá trị của biểu thức là:

\(\left(7 \cdot \frac{1}{7} – 5\right)^2 = (1 – 5)^2 = (-4)^2 = 16\)

Vậy, giá trị của biểu thức \(49x^2-70x+25\) tại \(x=1/7\) là \(16\).

d. \(x^2-y^2\) tại \(x=87\) \(y=13\)

Biểu thức này chính là một hằng đẳng thức mà chúng ta đã học!

Ta có biểu thức: \(x^2-y^2\)

Đây chính là dạng của hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\)

Áp dụng vào biểu thức của chúng ta, với \(a=x\) và \(b=y\), ta được:

\(x^2-y^2 = (x-y)(x+y)\)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị \(x=87\) và \(y=13\) vào biểu thức đã rút gọn:

Tại \(x=87\) và \(y=13\), giá trị của biểu thức là:

\((87-13)(87+13) = (74)(100) = 7400\)

Vậy, giá trị của biểu thức \(x^2-y^2\) tại \(x=87\) và \(y=13\) là \(7400\).

e. \(x^3-3x^2+3x-1\) tại \(x=101\)

Đây là một biểu thức nữa có dạng hằng đẳng thức.

Ta có biểu thức: \(x^3-3x^2+3x-1\)

Chúng ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng: \(x^3 – 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 – 1^3\)

Đây chính là dạng của hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: \((a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

Áp dụng vào biểu thức của chúng ta, với \(a=x\) và \(b=1\), ta được:

\(x^3-3x^2+3x-1 = (x-1)^3\)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị \(x=101\) vào biểu thức đã rút gọn:

Tại \(x=101\), giá trị của biểu thức là:

\((101-1)^3 = (100)^3 = 1000000\)

Vậy, giá trị của biểu thức \(x^3-3x^2+3x-1\) tại \(x=101\) là \(1000000\).

Các em thấy không, việc vận dụng các hằng đẳng thức giúp chúng ta giải quyết bài toán một cách gọn gàng và nhanh chóng hơn rất nhiều. Hãy ghi nhớ và luyện tập thường xuyên để thành thạo các hằng đẳng thức này nhé!