Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô sẽ hướng dẫn các em cách tìm nghiệm của các đa thức bậc hai mà không cần dùng đến công thức nghiệm tổng quát (delta) mà chúng ta sẽ học ở các lớp lớn hơn nhé. Ở lớp 7, chúng ta thường sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (hay còn gọi là tách hạng tử giữa) để giải quyết các bài toán này.

A. Khái niệm và phương pháp chung:

1. Nghiệm của đa thức là gì?
Nghiệm của một đa thức là giá trị của biến (ví dụ như \(x\)) làm cho giá trị của đa thức đó bằng 0.
Ví dụ: Nếu đa thức là \(P(x) = x – 2\), thì khi \(x = 2\), \(P(2) = 2 – 2 = 0\). Vậy \(x = 2\) là nghiệm của đa thức \(P(x)\).

2. Phương pháp “tách hạng tử giữa” để tìm nghiệm:
Đối với các đa thức bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\), chúng ta sẽ làm như sau để tìm nghiệm (tức là giải phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\)):

1. Bước 1: Viết lại đa thức dưới dạng phương trình bằng 0: \(ax^2 + bx + c = 0\).
2. Bước 2: Tìm hai số \(m\) và \(n\) sao cho tổng của chúng bằng hệ số \(b\) (tức là \(m + n = b\)) và tích của chúng bằng tích của hệ số \(a\) và \(c\) (tức là \(m \cdot n = a \cdot c\)).
3. Bước 3: “Tách” hạng tử giữa \(bx\) thành \(mx + nx\). Phương trình sẽ trở thành: \(ax^2 + mx + nx + c = 0\).
4. Bước 4: Nhóm hai hạng tử đầu với nhau và hai hạng tử sau với nhau. Sau đó, đặt thừa số chung của từng nhóm ra ngoài. Mục tiêu là để xuất hiện một nhân tử chung là một biểu thức trong ngoặc.
5. Bước 5: Đặt nhân tử chung (biểu thức trong ngoặc) ra ngoài một lần nữa. Khi đó, đa thức đã được phân tích thành tích của hai nhân tử.
6. Bước 6: Vì tích của hai nhân tử bằng 0, nên mỗi nhân tử phải bằng 0. Giải từng phương trình nhỏ để tìm ra các giá trị của \(x\). Đó chính là các nghiệm của đa thức.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau giải chi tiết từng bài nhé!

—— LỜI GIẢI CHI TIẾT ——

1) Tìm nghiệm của đa thức \(x^2 + x – 12\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(x^2 + x – 12\), chúng ta cần giải phương trình:
\(x^2 + x – 12 = 0\)

Đây là đa thức có dạng \(ax^2 + bx + c\) với \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -12\).

Chúng ta cần tìm hai số \(m\) và \(n\) sao cho:

• \(m + n = b = 1\)
• \(m \cdot n = a \cdot c = 1 \cdot (-12) = -12\)

Các cặp số có tích bằng \(-12\) là: \((1, -12)\), \((-1, 12)\), \((2, -6)\), \((-2, 6)\), \((3, -4)\), \((-3, 4)\).
Trong các cặp này, cặp \((-3, 4)\) có tổng là \(-3 + 4 = 1\), đúng bằng \(b\).

Vậy chúng ta sẽ tách hạng tử \(x\) thành \(-3x + 4x\).

Ta có:
\(x^2 + x – 12 = 0\)
\(x^2 – 3x + 4x – 12 = 0\) (Tách hạng tử giữa)
\((x^2 – 3x) + (4x – 12) = 0\) (Nhóm các hạng tử)
\(x(x – 3) + 4(x – 3) = 0\) (Đặt thừa số chung của từng nhóm)
\((x – 3)(x + 4) = 0\) (Đặt nhân tử chung \((x – 3)\) ra ngoài)

Vì tích của hai nhân tử bằng 0 nên một trong hai nhân tử phải bằng 0.
Trường hợp 1: \(x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
Trường hợp 2: \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\)

Vậy, đa thức \(x^2 + x – 12\) có hai nghiệm là \(x = 3\) và \(x = -4\).

2) Tìm nghiệm của đa thức \(x^2 – 6x + 8\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(x^2 – 6x + 8\), chúng ta cần giải phương trình:
\(x^2 – 6x + 8 = 0\)

Đây là đa thức có dạng \(ax^2 + bx + c\) với \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 8\).

Chúng ta cần tìm hai số \(m\) và \(n\) sao cho:

• \(m + n = b = -6\)
• \(m \cdot n = a \cdot c = 1 \cdot 8 = 8\)

Các cặp số có tích bằng \(8\) là: \((1, 8)\), \((-1, -8)\), \((2, 4)\), \((-2, -4)\).
Trong các cặp này, cặp \((-2, -4)\) có tổng là \(-2 + (-4) = -6\), đúng bằng \(b\).

Vậy chúng ta sẽ tách hạng tử \(-6x\) thành \(-2x – 4x\).

Ta có:
\(x^2 – 6x + 8 = 0\)
\(x^2 – 2x – 4x + 8 = 0\) (Tách hạng tử giữa)
\((x^2 – 2x) – (4x – 8) = 0\) (Nhóm các hạng tử. Chú ý dấu trừ khi nhóm!)
\(x(x – 2) – 4(x – 2) = 0\) (Đặt thừa số chung của từng nhóm)
\((x – 2)(x – 4) = 0\) (Đặt nhân tử chung \((x – 2)\) ra ngoài)

Vì tích của hai nhân tử bằng 0 nên một trong hai nhân tử phải bằng 0.
Trường hợp 1: \(x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
Trường hợp 2: \(x – 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)

Vậy, đa thức \(x^2 – 6x + 8\) có hai nghiệm là \(x = 2\) và \(x = 4\).

3) Tìm nghiệm của đa thức \(x^2 + 2x – 3\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(x^2 + 2x – 3\), chúng ta cần giải phương trình:
\(x^2 + 2x – 3 = 0\)

Đây là đa thức có dạng \(ax^2 + bx + c\) với \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -3\).

Chúng ta cần tìm hai số \(m\) và \(n\) sao cho:

• \(m + n = b = 2\)
• \(m \cdot n = a \cdot c = 1 \cdot (-3) = -3\)

Các cặp số có tích bằng \(-3\) là: \((1, -3)\), \((-1, 3)\).
Trong các cặp này, cặp \((-1, 3)\) có tổng là \(-1 + 3 = 2\), đúng bằng \(b\).

Vậy chúng ta sẽ tách hạng tử \(2x\) thành \(-x + 3x\).

Ta có:
\(x^2 + 2x – 3 = 0\)
\(x^2 – x + 3x – 3 = 0\) (Tách hạng tử giữa)
\((x^2 – x) + (3x – 3) = 0\) (Nhóm các hạng tử)
\(x(x – 1) + 3(x – 1) = 0\) (Đặt thừa số chung của từng nhóm)
\((x – 1)(x + 3) = 0\) (Đặt nhân tử chung \((x – 1)\) ra ngoài)

Vì tích của hai nhân tử bằng 0 nên một trong hai nhân tử phải bằng 0.
Trường hợp 1: \(x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
Trường hợp 2: \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)

Vậy, đa thức \(x^2 + 2x – 3\) có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = -3\).

4) Tìm nghiệm của đa thức \(x^2 + 5 – 6\)

Trước hết, chúng ta cần rút gọn đa thức này:
\(x^2 + 5 – 6 = x^2 – 1\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(x^2 – 1\), chúng ta cần giải phương trình:
\(x^2 – 1 = 0\)

Đây là một dạng đặc biệt mà các em đã học: hiệu của hai bình phương!
Chúng ta có thể viết \(1\) là \(1^2\). Vậy:
\(x^2 – 1^2 = 0\)
Áp dụng hằng đẳng thức \(A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)\), ta được:
\((x – 1)(x + 1) = 0\)

Vì tích của hai nhân tử bằng 0 nên một trong hai nhân tử phải bằng 0.
Trường hợp 1: \(x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
Trường hợp 2: \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)

Vậy, đa thức \(x^2 + 5 – 6\) (tức \(x^2 – 1\)) có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = -1\).

5) Tìm nghiệm của đa thức \(3x^2 + x – 4\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(3x^2 + x – 4\), chúng ta cần giải phương trình:
\(3x^2 + x – 4 = 0\)

Đây là đa thức có dạng \(ax^2 + bx + c\) với \(a = 3\), \(b = 1\), \(c = -4\).

Chúng ta cần tìm hai số \(m\) và \(n\) sao cho:

• \(m + n = b = 1\)
• \(m \cdot n = a \cdot c = 3 \cdot (-4) = -12\)

Các cặp số có tích bằng \(-12\) là: \((1, -12)\), \((-1, 12)\), \((2, -6)\), \((-2, 6)\), \((3, -4)\), \((-3, 4)\).
Trong các cặp này, cặp \((-3, 4)\) có tổng là \(-3 + 4 = 1\), đúng bằng \(b\).

Vậy chúng ta sẽ tách hạng tử \(x\) thành \(-3x + 4x\).

Ta có:
\(3x^2 + x – 4 = 0\)
\(3x^2 – 3x + 4x – 4 = 0\) (Tách hạng tử giữa)
\((3x^2 – 3x) + (4x – 4) = 0\) (Nhóm các hạng tử)
\(3x(x – 1) + 4(x – 1) = 0\) (Đặt thừa số chung của từng nhóm)
\((x – 1)(3x + 4) = 0\) (Đặt nhân tử chung \((x – 1)\) ra ngoài)

Vì tích của hai nhân tử bằng 0 nên một trong hai nhân tử phải bằng 0.
Trường hợp 1: \(x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
Trường hợp 2: \(3x + 4 = 0 \Rightarrow 3x = -4 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}\)

Vậy, đa thức \(3x^2 + x – 4\) có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = -\frac{4}{3}\).

6) Tìm nghiệm của đa thức \(3 + 7x + 2x^2\)

Trước hết, chúng ta nên sắp xếp lại đa thức theo thứ tự bậc giảm dần để dễ dàng áp dụng phương pháp:
\(3 + 7x + 2x^2 = 2x^2 + 7x + 3\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(2x^2 + 7x + 3\), chúng ta cần giải phương trình:
\(2x^2 + 7x + 3 = 0\)

Đây là đa thức có dạng \(ax^2 + bx + c\) với \(a = 2\), \(b = 7\), \(c = 3\).

Chúng ta cần tìm hai số \(m\) và \(n\) sao cho:

• \(m + n = b = 7\)
• \(m \cdot n = a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6\)

Các cặp số có tích bằng \(6\) là: \((1, 6)\), \((-1, -6)\), \((2, 3)\), \((-2, -3)\).
Trong các cặp này, cặp \((1, 6)\) có tổng là \(1 + 6 = 7\), đúng bằng \(b\).

Vậy chúng ta sẽ tách hạng tử \(7x\) thành \(x + 6x\).

Ta có:
\(2x^2 + 7x + 3 = 0\)
\(2x^2 + x + 6x + 3 = 0\) (Tách hạng tử giữa)
\((2x^2 + x) + (6x + 3) = 0\) (Nhóm các hạng tử)
\(x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0\) (Đặt thừa số chung của từng nhóm)
\((2x + 1)(x + 3) = 0\) (Đặt nhân tử chung \((2x + 1)\) ra ngoài)

Vì tích của hai nhân tử bằng 0 nên một trong hai nhân tử phải bằng 0.
Trường hợp 1: \(2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\)
Trường hợp 2: \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)

Vậy, đa thức \(3 + 7x + 2x^2\) có hai nghiệm là \(x = -\frac{1}{2}\) và \(x = -3\).

Cô hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách tìm nghiệm của đa thức bậc hai bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo phương pháp này nhé!