hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SAB đều và nằm trong mp vuông…
Bài toán: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, điểm B nằm trên trục Ox, điểm D nằm trên trục Oy. Hãy tìm phương trình mặt phẳng (SBD).
—
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.
Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp.
Đầu tiên, chúng ta cần đặt hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc O trùng với điểm A.
* Vì B nằm trên trục Ox và AB = 2a (cạnh hình vuông), nên tọa độ điểm B là \( (2a, 0, 0) \).
* Vì D nằm trên trục Oy và AD = 2a (cạnh hình vuông), nên tọa độ điểm D là \( (0, 2a, 0) \).
* Vì ABCD là hình vuông cạnh 2a, nên điểm C có tọa độ là \( (2a, 2a, 0) \).
Bây giờ chúng ta cần tìm tọa độ điểm S.
* Tam giác SAB là tam giác đều cạnh 2a.
* Điểm A có tọa độ \( (0, 0, 0) \).
* Điểm B có tọa độ \( (2a, 0, 0) \).
* Trung điểm M của AB sẽ có tọa độ là \( (\frac{0+2a}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (a, 0, 0) \).
* Chiều cao của tam giác đều SAB là \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{cạnh} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2a = a\sqrt{3} \).
* Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Điều này có nghĩa là đường cao SH của tam giác SAB (với H là chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng đáy) sẽ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tuy nhiên, đề bài cho “tam giác SAB đều và nằm trong mp vuông đáy”. Điều này có thể hiểu là mặt phẳng chứa tam giác SAB vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD.
* Do tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, điểm S sẽ có hình chiếu H lên mặt phẳng đáy nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm M của AB và song song với AD (hoặc BC). Tuy nhiên, cách diễn đạt “tam giác SAB đều và nằm trong mp vuông đáy” thường dẫn đến việc S có tọa độ sao cho đường cao từ S đến AB vuông góc với đáy.
* Xét tam giác SAB đều với cạnh AB = 2a. Trung điểm M của AB là \( (a, 0, 0) \). Đường cao SM của tam giác SAB sẽ vuông góc với AB. Vì mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, nên đường cao SM hoặc một đường thẳng song song với SM sẽ định hướng cho S.
Chúng ta cần xác định vị trí của S một cách rõ ràng hơn.
Do SAB là tam giác đều, tâm của tam giác đều (chân đường cao từ S đến AB) sẽ nằm trên trung trực của AB.
Trung điểm M của AB là \( (a, 0, 0) \).
Do tam giác SAB đều, đường cao từ S đến AB sẽ vuông góc với AB tại trung điểm M.
Chiều cao \( SM = a\sqrt{3} \).
Mặt phẳng chứa tam giác SAB vuông góc với mặt phẳng đáy. Điều này có nghĩa là đường cao của tam giác SAB (ví dụ như SM) sẽ vuông góc với mặt phẳng đáy hoặc nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Hãy xem xét một cách khác: vì tam giác SAB là tam giác đều, chiều cao từ S xuống AB sẽ có độ dài \( a\sqrt{3} \). Điểm chiếu của S lên mặt phẳng đáy (ABCD) sẽ nằm trên đường trung trực của AB. Trung trực của AB cắt AB tại trung điểm M \( (a, 0, 0) \). Vì mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, nên đường cao SH của tam giác SAB sẽ vuông góc với mặt phẳng đáy. Tuy nhiên, S không nhất thiết phải chiếu thẳng xuống M.
Ta có thể hiểu là mặt phẳng chứa tam giác SAB vuông góc với mặt phẳng đáy.
Vì tam giác SAB đều, ta có thể đặt S sao cho nó có tọa độ \( (x_S, y_S, z_S) \).
Vector \( \vec{AB} = (2a, 0, 0) \).
Vector \( \vec{AS} = (x_S, y_S, z_S) \).
Vector \( \vec{BS} = (x_S – 2a, y_S, z_S) \).
Độ dài \( |AB| = 2a \).
Độ dài \( |AS| = 2a \), nên \( x_S^2 + y_S^2 + z_S^2 = (2a)^2 = 4a^2 \).
Độ dài \( |BS| = 2a \), nên \( (x_S – 2a)^2 + y_S^2 + z_S^2 = (2a)^2 = 4a^2 \).
\( x_S^2 – 4ax_S + 4a^2 + y_S^2 + z_S^2 = 4a^2 \).
Thay \( x_S^2 + y_S^2 + z_S^2 = 4a^2 \) vào, ta được:
\( 4a^2 – 4ax_S + 4a^2 = 4a^2 \)
\( 4a^2 – 4ax_S = 0 \)
\( 4a^2 = 4ax_S \)
\( x_S = a \).
Bây giờ, chúng ta xét đến điều kiện mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy.
Mặt phẳng đáy có pháp tuyến là \( \vec{k} = (0, 0, 1) \).
Để mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, ta có thể xét vector pháp tuyến của mặt phẳng (SAB) hoặc một vector nằm trong mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy.
Nếu chúng ta xem xét đường cao của tam giác SAB hạ từ S xuống AB, đường cao này sẽ có độ dài \( a\sqrt{3} \).
Do tam giác SAB đều, trung điểm M của AB là \( (a, 0, 0) \).
Đường cao SM sẽ vuông góc với AB.
Vì mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, đường cao SM này sẽ song song với mặt phẳng đáy hoặc vuông góc với mặt phẳng đáy tùy thuộc vào cách diễn đạt.
Cách diễn đạt “tam giác SAB đều và nằm trong mp vuông đáy” thường hiểu là tam giác SAB có mặt phẳng chứa nó vuông góc với đáy.
Vì tam giác SAB đều, trung điểm M của AB là \( (a, 0, 0) \).
Đường cao từ S xuống AB có độ dài \( a\sqrt{3} \). Điểm chiếu của S lên mặt phẳng đáy sẽ là một điểm H trên đường trung trực của AB.
Do ABCD là hình vuông, AD vuông góc với AB. Ta có thể xem M là điểm mà đường cao SH của tam giác SAB chiếu lên mặt phẳng đáy.
Nếu SH vuông góc với mặt phẳng đáy, thì S sẽ có tọa độ \( (a, y_S, z_S) \).
Trong tam giác SAB đều, M là trung điểm AB. Chiều cao SM = \( a\sqrt{3} \).
Nếu H trùng với M, thì \( S = (a, 0, a\sqrt{3}) \).
Kiểm tra: \( |AS|^2 = a^2 + 0^2 + (a\sqrt{3})^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2 \implies |AS| = 2a \).
\( |BS|^2 = (a-2a)^2 + 0^2 + (a\sqrt{3})^2 = (-a)^2 + 3a^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2 \implies |BS| = 2a \).
Như vậy, \( S = (a, 0, a\sqrt{3}) \) là một khả năng.
Tuy nhiên, ta cần xem xét “mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy”. Nếu S chiếu lên M, thì mặt phẳng (SAB) chứa đường cao SM. Nếu SM vuông góc với đáy, thì S sẽ nằm trên đường thẳng qua M vuông góc với đáy.
Nếu M là chân đường cao từ S xuống đáy, thì S sẽ có tọa độ \( (a, 0, a\sqrt{3}) \) hoặc \( (a, 0, -a\sqrt{3}) \). Do là hình chóp, ta lấy \( z > 0 \). Vậy \( S = (a, 0, a\sqrt{3}) \).
Một cách diễn giải khác: Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Ta có A = (0,0,0), B = (2a,0,0), D = (0,2a,0).
Tam giác SAB đều cạnh 2a. Trung điểm M của AB là (a,0,0).
Chiều cao \( SM = a\sqrt{3} \).
Vì mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, nên đường cao SH của tam giác SAB sẽ vuông góc với đáy. Vậy H trùng với M.
Do đó, \( S = (a, 0, a\sqrt{3}) \).
Tóm lại, tọa độ các đỉnh là:
A = \( (0, 0, 0) \)
B = \( (2a, 0, 0) \)
D = \( (0, 2a, 0) \)
S = \( (a, 0, a\sqrt{3}) \)
Bước 2: Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (SBD).
Để tìm phương trình mặt phẳng (SBD), chúng ta cần hai vector chỉ phương nằm trong mặt phẳng đó và một điểm thuộc mặt phẳng. Chúng ta đã có điểm B và điểm D. Chúng ta cần thêm điểm S.
Hai vector chỉ phương của mặt phẳng (SBD) có thể là \( \vec{SB} \) và \( \vec{SD} \) (hoặc \( \vec{BD} \) và \( \vec{BS} \), v.v.).
Tính các vector:
\( \vec{SB} = B – S = (2a – a, 0 – 0, 0 – a\sqrt{3}) = (a, 0, -a\sqrt{3}) \)
\( \vec{SD} = D – S = (0 – a, 2a – 0, 0 – a\sqrt{3}) = (-a, 2a, -a\sqrt{3}) \)
Vector pháp tuyến \( \vec{n} \) của mặt phẳng (SBD) sẽ vuông góc với cả \( \vec{SB} \) và \( \vec{SD} \). Ta có thể tìm \( \vec{n} \) bằng tích có hướng: \( \vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} \).
\( \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & -a\sqrt{3} \\ -a & 2a & -a\sqrt{3} \end{vmatrix} \)
\( \vec{n} = \vec{i} \begin{vmatrix} 0 & -a\sqrt{3} \\ 2a & -a\sqrt{3} \end{vmatrix} – \vec{j} \begin{vmatrix} a & -a\sqrt{3} \\ -a & -a\sqrt{3} \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} a & 0 \\ -a & 2a \end{vmatrix} \)
\( \vec{n} = \vec{i} (0 \times (-a\sqrt{3}) – (-a\sqrt{3}) \times 2a) – \vec{j} (a \times (-a\sqrt{3}) – (-a\sqrt{3}) \times (-a)) + \vec{k} (a \times 2a – 0 \times (-a)) \)
\( \vec{n} = \vec{i} (0 + 2a^2\sqrt{3}) – \vec{j} (-a^2\sqrt{3} – a^2\sqrt{3}) + \vec{k} (2a^2 – 0) \)
\( \vec{n} = (2a^2\sqrt{3}) \vec{i} – (-2a^2\sqrt{3}) \vec{j} + (2a^2) \vec{k} \)
\( \vec{n} = (2a^2\sqrt{3}, 2a^2\sqrt{3}, 2a^2) \)
Để đơn giản hóa, ta có thể chia vector pháp tuyến cho \( 2a^2 \) (với \( a \neq 0 \)):
\( \vec{n’} = (\sqrt{3}, \sqrt{3}, 1) \)
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (SBD).
Phương trình mặt phẳng có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \), trong đó \( (A, B, C) \) là vector pháp tuyến.
Sử dụng vector pháp tuyến \( \vec{n’} = (\sqrt{3}, \sqrt{3}, 1) \) và điểm B \( (2a, 0, 0) \) thuộc mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng có dạng: \( \sqrt{3}x + \sqrt{3}y + 1z + D = 0 \).
Thay tọa độ điểm B \( (2a, 0, 0) \) vào phương trình:
\( \sqrt{3}(2a) + \sqrt{3}(0) + 1(0) + D = 0 \)
\( 2a\sqrt{3} + 0 + 0 + D = 0 \)
\( D = -2a\sqrt{3} \)
Vậy, phương trình mặt phẳng (SBD) là:
\( \sqrt{3}x + \sqrt{3}y + z – 2a\sqrt{3} = 0 \)
Chúng ta có thể kiểm tra lại bằng cách thay tọa độ điểm D \( (0, 2a, 0) \) và S \( (a, 0, a\sqrt{3}) \) vào phương trình này.
Với điểm D \( (0, 2a, 0) \):
\( \sqrt{3}(0) + \sqrt{3}(2a) + 0 – 2a\sqrt{3} = 0 + 2a\sqrt{3} – 2a\sqrt{3} = 0 \) (Đúng)
Với điểm S \( (a, 0, a\sqrt{3}) \):
\( \sqrt{3}(a) + \sqrt{3}(0) + a\sqrt{3} – 2a\sqrt{3} = a\sqrt{3} + 0 + a\sqrt{3} – 2a\sqrt{3} = 2a\sqrt{3} – 2a\sqrt{3} = 0 \) (Đúng)
Kết luận:
Phương trình mặt phẳng (SBD) là \( \sqrt{3}x + \sqrt{3}y + z – 2a\sqrt{3} = 0 \).
Chúc các em ôn tập tốt và luôn yêu thích môn Toán!
Đáp án + Giải thích các bước giải:
Gắn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) với \(O \equiv A(0;0;0)\).
Vì \(B \in Ox, D \in Oy\) và \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\):
\(B(2a; 0; 0)\)
\(D(0; 2a; 0)\)
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB \Rightarrow H(a; 0; 0)\).
\(\Delta SAB\) đều cạnh \(2a\) và \((SAB) \perp (ABCD) \Rightarrow SH \perp (ABCD)\).
\(SH = \dfrac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3} \Rightarrow S(a; 0; a\sqrt{3})\).
Ta có:
\(\overrightarrow{BS} = (-a; 0; a\sqrt{3})\)
\(\overrightarrow{BD} = (-2a; 2a; 0)\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBD)\):
\(\vec{n} = [\overrightarrow{BS}, \overrightarrow{BD}] = (-2a^2\sqrt{3}; -2a^2\sqrt{3}; -2a^2)\)
Chọn \(\vec{n} = (\sqrt{3}; \sqrt{3}; 1)\).
Phương trình mặt phẳng \((SBD)\) đi qua \(B(2a; 0; 0)\) là:
\(\sqrt{3}(x – 2a) + \sqrt{3}(y – 0) + 1(z – 0) = 0\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{3}x + \sqrt{3}y + z – 2a\sqrt{3} = 0\)
\[\boxed{\text{@bythongtran09}}\]
Gọi H là trung điểm AB
\(SH = (2a * sqrt(3))/2 = a*sqrt(3)\)
\(vec(SB) = B – S = (2a – a; 0 – 0; 0 – a*sqrt(3)) = (a; 0; -a*sqrt(3))\)
\(vec(SD) = D – S = (0 – a; 2a – 0; 0 – a*sqrt(3)) = (-a; 2a; -a*sqrt(3))\)
\(vec(u_1) = 1/a * vec(SB) = (1; 0; -sqrt(3))\)
\(vec(u_2) = 1/a * vec(SD) = (-1; 2; -sqrt(3))\)
\(vec(n) = [vec(u_1), vec(u_2)]\)
\(n_x = 0*(-sqrt(3)) – (-sqrt(3))*2 = 2*sqrt(3)\)
\(n_y = (-sqrt(3))*(-1) – 1*(-sqrt(3)) = 2*sqrt(3)\)
\(n_z = 1*2 – 0*(-1) = 2\)
\(vec(n) = (sqrt(3); sqrt(3); 1)\)
Mặt phẳng (SBD) đi qua \(B(2a; 0; 0)\) có vectơ pháp tuyến \(vec(n) = (sqrt(3); sqrt(3); 1)\) có pt
\(sqrt(3)*(x – 2a) + sqrt(3)*(y – 0) + 1*(z – 0) = 0\)
\(<=> sqrt(3)x + sqrt(3)y + z – 2*sqrt(3)a = 0\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment