Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về xác suất và tổ hợp khá thú vị. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải tư duy một cách logic và cẩn thận trong việc tính toán các trường hợp.

Đề bài: Một giải bóng đá gồm năm đội, cứ hai đội bất kì đấu với nhau duy nhất 1 trận đấu. Mỗi trận đấu chỉ có kết quả thắng hay thua chứ không có hoà. Tính số khả năng có thể xảy ra mà trong đó, không có đội nào thắng tất cả trận đấu và không có đội nào thua tất cả trận đấu.

Chúng ta sẽ phân tích và giải bài toán này theo các bước sau đây nhé:

Bước 1: Tính tổng số trận đấu và tổng số kết quả có thể xảy ra của giải đấu.

Giải đấu có 5 đội. Cứ hai đội bất kỳ đấu với nhau 1 trận. Đây là bài toán chọn 2 đội từ 5 đội để tạo thành một trận đấu, không quan trọng thứ tự.

Số trận đấu trong giải là tổ hợp chập 2 của 5 đội, ký hiệu là \(C_5^2\).
\(C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\) trận đấu.

Mỗi trận đấu chỉ có 2 kết quả: thắng hoặc thua (không có hòa).
Vì có 10 trận đấu và mỗi trận có 2 kết quả độc lập, nên tổng số kết quả có thể xảy ra của toàn bộ giải đấu là:
\(N = 2^{10} = 1024\) khả năng.

Bước 2: Xác định các trường hợp “không mong muốn” và sử dụng Nguyên lý bao hàm – loại trừ.

Chúng ta cần tìm số khả năng mà không có đội nào thắng tất cả trận đấu VÀ không có đội nào thua tất cả trận đấu.
Điều này có nghĩa là chúng ta sẽ đi tính tổng số khả năng trừ đi các khả năng mà:

• Có ít nhất một đội thắng tất cả các trận. (Gọi là tập hợp \(A\))
• Có ít nhất một đội thua tất cả các trận. (Gọi là tập hợp \(B\))

Và theo Nguyên lý bao hàm – loại trừ, số khả năng “không mong muốn” này là \(|A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B|\).
Số khả năng thỏa mãn yêu cầu đề bài sẽ là \(N – |A \cup B|\).

Bước 3: Tính số khả năng có ít nhất một đội thắng tất cả các trận (tức là \(|A|\)).

Gọi \(A_i\) là sự kiện đội \(i\) thắng tất cả các trận của mình.
Một đội (ví dụ đội 1) thi đấu với 4 đội còn lại (đội 2, 3, 4, 5). Để đội 1 thắng tất cả các trận, kết quả của 4 trận đấu này là cố định (đội 1 thắng).
Số trận còn lại là \(10 – 4 = 6\) trận đấu. Mỗi trận này vẫn có 2 kết quả.
Vậy, số khả năng để một đội cụ thể thắng tất cả các trận là \(2^6 = 64\).

Có 5 đội, vậy tổng các \(|A_i|\) là \(5 \times 2^6 = 5 \times 64 = 320\).

Bây giờ, chúng ta cần xem xét trường hợp hai đội trở lên cùng thắng tất cả các trận.
Giả sử đội 1 thắng tất cả các trận, và đội 2 cũng thắng tất cả các trận.
Nếu đội 1 thắng tất cả các trận, thì đội 1 phải thắng đội 2.
Nếu đội 2 thắng tất cả các trận, thì đội 2 phải thắng đội 1.
Điều này là mâu thuẫn (một trận đấu không thể có cả hai đội đều thắng).
Vì vậy, không thể có hai đội trở lên cùng thắng tất cả các trận đấu. Hay nói cách khác, \(A_i \cap A_j = \emptyset\) với \(i \neq j\).

Do đó, \(|A| = \sum |A_i| = 5 \times 64 = 320\).

Bước 4: Tính số khả năng có ít nhất một đội thua tất cả các trận (tức là \(|B|\)).

Tương tự như trường hợp thắng tất cả các trận.
Gọi \(B_i\) là sự kiện đội \(i\) thua tất cả các trận của mình.
Một đội (ví dụ đội 1) thi đấu với 4 đội còn lại. Để đội 1 thua tất cả các trận, kết quả của 4 trận đấu này là cố định (đội 1 thua).
Số trận còn lại là \(10 – 4 = 6\) trận đấu. Mỗi trận này vẫn có 2 kết quả.
Vậy, số khả năng để một đội cụ thể thua tất cả các trận là \(2^6 = 64\).

Có 5 đội, vậy tổng các \(|B_i|\) là \(5 \times 2^6 = 5 \times 64 = 320\).

Tương tự như trường hợp thắng, không thể có hai đội trở lên cùng thua tất cả các trận đấu (ví dụ: đội 1 thua đội 2, và đội 2 thua đội 1 là mâu thuẫn). Hay nói cách khác, \(B_i \cap B_j = \emptyset\) với \(i \neq j\).

Do đó, \(|B| = \sum |B_i| = 5 \times 64 = 320\).

Bước 5: Tính số khả năng có ít nhất một đội thắng tất cả các trận VÀ ít nhất một đội thua tất cả các trận (tức là \(|A \cap B|\)).

Vì chỉ có duy nhất một đội có thể thắng tất cả các trận, và duy nhất một đội có thể thua tất cả các trận (như đã phân tích ở trên), nên trường hợp này chỉ xảy ra khi:
Có một đội duy nhất thắng tất cả các trận VÀ có một đội duy nhất (khác với đội thắng) thua tất cả các trận.

Chúng ta chọn đội thắng tất cả các trận: Có 5 cách chọn.
Chúng ta chọn đội thua tất cả các trận (phải khác đội thắng): Có 4 cách chọn.
Vậy có \(P(5, 2) = 5 \times 4 = 20\) cách để chọn ra cặp đội (Đội X thắng tất cả, Đội Y thua tất cả).

Giả sử Đội X thắng tất cả các trận và Đội Y thua tất cả các trận.

• Đội X thắng 4 trận: thắng Đội Y, Đội A, Đội B, Đội C. (4 kết quả cố định).
• Đội Y thua 4 trận: thua Đội X, Đội A, Đội B, Đội C. (4 kết quả cố định).

Trong 8 kết quả cố định này, trận đấu giữa Đội X và Đội Y chỉ tính 1 lần (Đội X thắng Đội Y).
Vậy, có \(4 + 3 = 7\) trận đấu đã có kết quả cố định:

• Đội X thắng Đội Y, Đội A, Đội B, Đội C.
• Đội Y thua Đội A, Đội B, Đội C.

Số trận đấu còn lại là \(10 – 7 = 3\) trận đấu. Đó là các trận đấu giữa 3 đội còn lại (Đội A, Đội B, Đội C).
Mỗi trận đấu còn lại có 2 kết quả.
Vậy, số khả năng cho trường hợp này là \(2^3 = 8\).

Kết hợp số cách chọn đội và số khả năng kết quả, ta có:
\(|A \cap B| = 20 \times 8 = 160\).

Bước 6: Tính số khả năng “không mong muốn” (tức là \(|A \cup B|\)).

Áp dụng Nguyên lý bao hàm – loại trừ:
\(|A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B| = 320 + 320 – 160 = 480\).

Bước 7: Tính số khả năng thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Số khả năng mà không có đội nào thắng tất cả các trận và không có đội nào thua tất cả các trận là:
\(N – |A \cup B| = 1024 – 480 = 544\).

Vậy, số khả năng có thể xảy ra mà trong đó, không có đội nào thắng tất cả trận đấu và không có đội nào thua tất cả trận đấu là 544.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Đây là một ví dụ điển hình về việc áp dụng Nguyên lý bao hàm – loại trừ trong tổ hợp. Chú ý đến các trường hợp mâu thuẫn để tránh tính trùng lặp hoặc tính sai nhé!

Chúc các em học tốt!