Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về vòi nước chảy vào bể. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải áp dụng kiến thức về phương trình và hệ phương trình. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Đề bài:

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 7 giờ 12 phút đầy bể. Nếu để chảy một mình thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 6 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.

Phân tích bài toán:

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các đại lượng chưa biết và mối liên hệ giữa chúng.

Các đại lượng chưa biết là: Thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể và thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể.

Chúng ta có các thông tin sau:

• Thời gian cả hai vòi chảy chung đầy bể: 7 giờ 12 phút.
• Vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 6 giờ.

Đổi đơn vị thời gian:

Trước hết, chúng ta cần đổi 7 giờ 12 phút ra giờ để tiện cho việc tính toán.

12 phút = \( \frac{12}{60} \) giờ = \( \frac{1}{5} \) giờ = 0.2 giờ.

Vậy, 7 giờ 12 phút = 7 + 0.2 = 7.2 giờ.

Đặt ẩn và thiết lập phương trình:

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là \( x \) (giờ). Điều kiện: \( x > 0 \).

Vì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 6 giờ, nên thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là \( x – 6 \) (giờ). Điều kiện: \( x – 6 > 0 \), hay \( x > 6 \).

Trong 1 giờ:

• Vòi thứ nhất chảy được \( \frac{1}{x} \) bể.
• Vòi thứ hai chảy được \( \frac{1}{x-6} \) bể.

Khi cả hai vòi cùng chảy trong 1 giờ, chúng chảy được:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-6} \) (bể)

Vì cả hai vòi cùng chảy trong 7.2 giờ thì đầy bể, nên trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được:

\( \frac{1}{7.2} \) (bể)

Từ đây, ta có phương trình:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-6} = \frac{1}{7.2} \)

Giải phương trình:

Quy đồng mẫu số hai vế của phương trình:

\( \frac{(x-6) + x}{x(x-6)} = \frac{1}{7.2} \)

\( \frac{2x-6}{x^2-6x} = \frac{1}{7.2} \)

Nhân chéo:

\( 7.2(2x-6) = x^2-6x \)

\( 14.4x – 43.2 = x^2 – 6x \)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai:

\( x^2 – 6x – 14.4x + 43.2 = 0 \)

\( x^2 – 20.4x + 43.2 = 0 \)

Để giải phương trình bậc hai này, chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phương pháp tách số. Trước hết, để làm việc với số nguyên, ta có thể nhân cả hai vế với 10:

\( 10x^2 – 204x + 432 = 0 \)

Chia cả hai vế cho 2 để đơn giản hóa:

\( 5x^2 – 102x + 216 = 0 \)

Tính biệt thức Delta (\( \Delta \)):

\( \Delta = b^2 – 4ac = (-102)^2 – 4(5)(216) \)

\( \Delta = 10404 – 4320 \)

\( \Delta = 6084 \)

Tính căn bậc hai của Delta:

\( \sqrt{\Delta} = \sqrt{6084} = 78 \)

Tìm các nghiệm của phương trình:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{102 + 78}{2 \times 5} = \frac{180}{10} = 18 \)

\( x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{102 – 78}{2 \times 5} = \frac{24}{10} = 2.4 \)

Kiểm tra điều kiện:

Chúng ta đã đặt điều kiện cho \( x \) là \( x > 6 \).

• Với \( x_1 = 18 \), ta thấy \( 18 > 6 \). Vậy \( x_1 = 18 \) thỏa mãn điều kiện.
• Với \( x_2 = 2.4 \), ta thấy \( 2.4 < 6 \). Vậy \( x_2 = 2.4 \) không thỏa mãn điều kiện (vì thời gian vòi thứ hai chảy là \( x - 6 = 2.4 - 6 = -3.6 \) giờ, là một giá trị âm, không có ý nghĩa trong thực tế).

Do đó, chúng ta chỉ chấp nhận nghiệm \( x = 18 \).

Kết luận:

Thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là \( x = 18 \) giờ.

Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là \( x – 6 = 18 – 6 = 12 \) giờ.

Kiểm tra lại kết quả:

Trong 1 giờ, vòi thứ nhất chảy được \( \frac{1}{18} \) bể.

Trong 1 giờ, vòi thứ hai chảy được \( \frac{1}{12} \) bể.

Trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được \( \frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{2}{36} + \frac{3}{36} = \frac{5}{36} \) bể.

Thời gian để cả hai vòi chảy đầy bể là \( \frac{1}{\frac{5}{36}} = \frac{36}{5} = 7.2 \) giờ.

7.2 giờ = 7 giờ + 0.2 giờ = 7 giờ + \( 0.2 \times 60 \) phút = 7 giờ 12 phút. Kết quả này khớp với đề bài.

Vậy, thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 18 giờ và thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 12 giờ.

Cảm ơn các em đã chú ý lắng nghe! Nếu có câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!