Bài 12. Một xe máy khởi hành từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Sau khi xe máy đi được 20 phút, trên cùng tuyến đường đó, một ô tô khởi hành từ B về A với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường AB dài 90 km. Hỏi sau bao lâu kể từ khi ô tô xuất phát thì hai xe gặp nhau? Vị trí gặp nhau cách A bao xa?

Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích kỹ các thông tin đã cho và xác định rõ các đại lượng cần tìm.

1. Phân tích bài toán và tóm tắt thông tin:

– Xe máy đi từ A đến B.

– Vận tốc xe máy: \(v_{xe máy} = 30\) km/h.

– Thời gian xe máy đi trước ô tô: 20 phút.

– Ô tô đi từ B về A.

– Vận tốc ô tô: \(v_{ô tô} = 45\) km/h.

– Quãng đường AB: \(S_{AB} = 90\) km.

– Câu hỏi 1: Thời gian kể từ khi ô tô xuất phát đến khi hai xe gặp nhau?

– Câu hỏi 2: Vị trí gặp nhau cách A bao xa?

2. Đổi đơn vị thời gian:

Chúng ta cần thống nhất đơn vị thời gian. Vận tốc cho bằng km/h, nên chúng ta sẽ đổi 20 phút ra giờ.

20 phút = \( \frac{20}{60} \) giờ = \( \frac{1}{3} \) giờ.

3. Tính quãng đường xe máy đi được trong thời gian 20 phút đầu tiên:

Khi ô tô bắt đầu khởi hành từ B, xe máy đã đi được một đoạn đường.

Quãng đường xe máy đi được trong 20 phút là:

\( S_{xe máy\_ban\_đầu} = v_{xe máy} \times t_{xe máy\_trước} \)

\( S_{xe máy\_ban\_đầu} = 30 \text{ km/h} \times \frac{1}{3} \text{ h} = 10 \text{ km} \)

4. Xác định quãng đường còn lại giữa hai xe khi ô tô bắt đầu xuất phát:

Lúc ô tô bắt đầu đi, xe máy đã đi được 10 km từ A. Vậy, khoảng cách giữa hai xe lúc này là:

\( S_{còn\_lại} = S_{AB} – S_{xe máy\_ban\_đầu} \)

\( S_{còn\_lại} = 90 \text{ km} – 10 \text{ km} = 80 \text{ km} \)

5. Tìm thời gian hai xe gặp nhau kể từ khi ô tô xuất phát:

Hai xe lúc này đang đi ngược chiều nhau và cách nhau 80 km. Vận tốc tương đối của hai xe khi đi ngược chiều là tổng vận tốc của chúng.

Vận tốc tương đối: \(v_{tương\_đối} = v_{xe máy} + v_{ô tô}\)

\(v_{tương\_đối} = 30 \text{ km/h} + 45 \text{ km/h} = 75 \text{ km/h}\)

Thời gian để hai xe gặp nhau kể từ khi ô tô xuất phát là:

\( t_{gặp\_nhau} = \frac{S_{còn\_lại}}{v_{tương\_đối}} \)

\( t_{gặp\_nhau} = \frac{80 \text{ km}}{75 \text{ km/h}} \)

\( t_{gặp\_nhau} = \frac{16}{15} \text{ giờ} \)

Để dễ hình dung, chúng ta có thể đổi ra phút:

\( \frac{16}{15} \text{ giờ} = \frac{16}{15} \times 60 \text{ phút} = 16 \times 4 \text{ phút} = 64 \text{ phút} \)

Vậy, sau 64 phút (hoặc \( \frac{16}{15} \) giờ) kể từ khi ô tô xuất phát thì hai xe gặp nhau.

6. Tìm vị trí gặp nhau cách A bao xa:

Chúng ta có thể tính quãng đường ô tô đi được trong thời gian \( t_{gặp\_nhau} \) và cộng với quãng đường xe máy đã đi ban đầu. Hoặc, chúng ta có thể tính quãng đường xe máy đi được từ lúc ô tô xuất phát cho đến khi gặp nhau, rồi cộng với 10 km ban đầu.

Cách 1: Tính quãng đường ô tô đi được.

Quãng đường ô tô đi được kể từ khi xuất phát đến lúc gặp nhau là:

\( S_{ô tô\_đi} = v_{ô tô} \times t_{gặp\_nhau} \)

\( S_{ô tô\_đi} = 45 \text{ km/h} \times \frac{16}{15} \text{ h} = 3 \times 16 \text{ km} = 48 \text{ km} \)

Vị trí gặp nhau cách B là 48 km. Vậy vị trí gặp nhau cách A là:

\( S_{gặp\_nhau\_cách\_A} = S_{AB} – S_{ô tô\_đi} \)

\( S_{gặp\_nhau\_cách\_A} = 90 \text{ km} – 48 \text{ km} = 42 \text{ km} \)

Cách 2: Tính quãng đường xe máy đi được thêm.

Quãng đường xe máy đi thêm từ lúc ô tô xuất phát đến lúc gặp nhau là:

\( S_{xe máy\_thêm} = v_{xe máy} \times t_{gặp\_nhau} \)

\( S_{xe máy\_thêm} = 30 \text{ km/h} \times \frac{16}{15} \text{ h} = 2 \times 16 \text{ km} = 32 \text{ km} \)

Tổng quãng đường xe máy đi được từ A đến điểm gặp nhau là:

\( S_{gặp\_nhau\_cách\_A} = S_{xe máy\_ban\_đầu} + S_{xe máy\_thêm} \)

\( S_{gặp\_nhau\_cách\_A} = 10 \text{ km} + 32 \text{ km} = 42 \text{ km} \)

Cả hai cách đều cho cùng một kết quả.

Vậy, vị trí gặp nhau cách A là 42 km.

Đáp số:

– Thời gian kể từ khi ô tô xuất phát đến khi hai xe gặp nhau là \( \frac{16}{15} \) giờ (hoặc 64 phút).

– Vị trí gặp nhau cách A là 42 km.

Các em thấy đó, bài toán này đòi hỏi chúng ta phải cẩn thận trong từng bước tính toán, đặc biệt là việc đổi đơn vị và xác định đúng quãng đường, thời gian của từng đối tượng. Các em hãy xem lại bài giải và có thể thử đặt ra những câu hỏi tương tự để luyện tập thêm nhé!