Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải một bài toán về giá trị của biểu thức đại số. Đây là một dạng bài rất hay, giúp chúng ta ôn lại các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Đề bài: Cho \(x+y=1\). Tính giá trị của biểu thức \(A = x^3 + y^3\).

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải bài toán này nhé!

Phân tích bài toán:

Chúng ta được cho tổng của \(x\) và \(y\) là \(1\), tức là \(x+y=1\).
Chúng ta cần tính giá trị của biểu thức \(A = x^3 + y^3\).

Kiến thức cần nhớ:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một trong các hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học về lập phương.

1. Tổng hai lập phương: \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)\)
2. Lập phương của một tổng: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

Từ công thức thứ hai, chúng ta có thể suy ra một dạng khác của tổng hai lập phương, rất tiện lợi khi biết tổng \((a+b)\) và tích \((ab)\):
\((a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\)
Từ đó, ta có: \(a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b)\)

Chúng ta sẽ sử dụng công thức này vì nó trực tiếp liên quan đến \(x+y\).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định hằng đẳng thức phù hợp

Biểu thức cần tính là \(A = x^3 + y^3\), đây chính là dạng tổng của hai lập phương. Chúng ta sẽ áp dụng hằng đẳng thức:

\(a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b)\)

Bước 2: Thay \(a=x\) và \(b=y\) vào hằng đẳng thức

Áp dụng hằng đẳng thức trên cho biểu thức \(A\), ta được:

\(A = x^3 + y^3 = (x+y)^3 – 3xy(x+y)\)

Bước 3: Thay giá trị đã biết \(x+y=1\) vào biểu thức

Theo đề bài, chúng ta biết rằng \(x+y=1\). Bây giờ, hãy thay giá trị này vào biểu thức vừa biến đổi:

\(A = (1)^3 – 3xy(1)\)

Bước 4: Rút gọn biểu thức

Thực hiện các phép tính:

\(A = 1^3 – 3xy \times 1\)
\(A = 1 – 3xy\)

Kết luận:

Vậy, giá trị của biểu thức \(A = x^3 + y^3\) là \(1 – 3xy\).

Lưu ý quan trọng: Trong bài toán này, đề bài chỉ cho \(x+y=1\) mà không cho thêm thông tin nào khác về \(x\) hoặc \(y\) (ví dụ: giá trị cụ thể của \(x\) hoặc \(y\), hoặc giá trị của tích \(xy\)). Do đó, chúng ta không thể tìm được một giá trị số cụ thể cho biểu thức \(A\). Giá trị của \(A\) sẽ phụ thuộc vào tích \(xy\).

Ví dụ:

• Nếu \(x=1\) và \(y=0\) (thỏa mãn \(x+y=1\)), thì \(xy = 1 \times 0 = 0\).
  Khi đó, \(A = 1 – 3(0) = 1\).
• Nếu \(x=2\) và \(y=-1\) (thỏa mãn \(x+y=1\)), thì \(xy = 2 \times (-1) = -2\).
  Khi đó, \(A = 1 – 3(-2) = 1 + 6 = 7\).

Như các em thấy, giá trị của \(A\) thay đổi tùy thuộc vào \(x\) và \(y\), miễn là tổng của chúng bằng \(1\). Chúng ta chỉ có thể biểu diễn \(A\) dưới dạng \(1 – 3xy\).

Chúc các em học tốt và nắm vững các hằng đẳng thức nhé!