Chúng ta cùng bắt đầu nào!

Câu 1. Cho \(A = \frac{2x-1}{x+2}\)

Để giải quyết các phần của bài toán này, trước hết, chúng ta hãy biến đổi biểu thức A về dạng dễ làm việc hơn. Chúng ta sẽ dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số.

\(A = \frac{2x-1}{x+2}\)

\(A = \frac{2(x+2) – 4 – 1}{x+2}\)

\(A = \frac{2(x+2) – 5}{x+2}\)

\(A = \frac{2(x+2)}{x+2} – \frac{5}{x+2}\)

\(A = 2 – \frac{5}{x+2}\)

a, Tìm x nguyên để A nguyên

Để A là một số nguyên, thì \(2 – \frac{5}{x+2}\) phải là số nguyên. Vì 2 là số nguyên, nên \(\frac{5}{x+2}\) cũng phải là một số nguyên.

Điều này có nghĩa là \((x+2)\) phải là ước của 5.

Các ước của 5 là: \(\{ -5; -1; 1; 5 \}\).

Ta xét các trường hợp sau:

• Nếu \(x+2 = -5 \Rightarrow x = -5 – 2 \Rightarrow x = -7\)
• Nếu \(x+2 = -1 \Rightarrow x = -1 – 2 \Rightarrow x = -3\)
• Nếu \(x+2 = 1 \Rightarrow x = 1 – 2 \Rightarrow x = -1\)
• Nếu \(x+2 = 5 \Rightarrow x = 5 – 2 \Rightarrow x = 3\)

Vậy, các giá trị nguyên của x để A nguyên là: \(x \in \{ -7; -3; -1; 3 \}\).

b, Tìm x nguyên để A là số tự nhiên

Để A là số tự nhiên, A phải là số nguyên (như chúng ta đã tìm ở câu a) và A phải lớn hơn hoặc bằng 0 (\(A \ge 0\)).

Chúng ta sẽ thay các giá trị x đã tìm được ở câu a vào biểu thức A để kiểm tra:

• Với \(x = -7\): \(A = 2 – \frac{5}{-7+2} = 2 – \frac{5}{-5} = 2 – (-1) = 2 + 1 = 3\). (Là số tự nhiên)
• Với \(x = -3\): \(A = 2 – \frac{5}{-3+2} = 2 – \frac{5}{-1} = 2 – (-5) = 2 + 5 = 7\). (Là số tự nhiên)
• Với \(x = -1\): \(A = 2 – \frac{5}{-1+2} = 2 – \frac{5}{1} = 2 – 5 = -3\). (Không phải số tự nhiên)
• Với \(x = 3\): \(A = 2 – \frac{5}{3+2} = 2 – \frac{5}{5} = 2 – 1 = 1\). (Là số tự nhiên)

Vậy, các giá trị nguyên của x để A là số tự nhiên là: \(x \in \{ -7; -3; 3 \}\).

c, Tìm x là số tự nhiên để A nguyên

Ở câu a, chúng ta đã tìm được các giá trị nguyên của x để A nguyên là \(\{ -7; -3; -1; 3 \}\).

Bây giờ, chúng ta cần chọn ra các giá trị trong tập hợp này mà x phải là số tự nhiên (nghĩa là \(x \ge 0\)).

Trong các giá trị \(\{ -7; -3; -1; 3 \}\), chỉ có \(x = 3\) là số tự nhiên.

Vậy, giá trị x là số tự nhiên để A nguyên là \(x = 3\).

d, Tìm x là số nguyên lớn nhất để A nhận giá trị nguyên

Từ câu a, các giá trị nguyên của x để A nguyên là \(\{ -7; -3; -1; 3 \}\).

Trong tập hợp này, số nguyên lớn nhất là 3.

Vậy, \(x = 3\) là số nguyên lớn nhất để A nhận giá trị nguyên.

e, Tìm x nguyên nhỏ nhất để A nhận giá trị nguyên

Từ câu a, các giá trị nguyên của x để A nguyên là \(\{ -7; -3; -1; 3 \}\).

Trong tập hợp này, số nguyên nhỏ nhất là -7.

Vậy, \(x = -7\) là số nguyên nhỏ nhất để A nhận giá trị nguyên.

—

Câu 2. Cho \(B = \frac{4x+1}{2x+3}\)

Tương tự như Câu 1, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức B về dạng dễ làm việc hơn:

\(B = \frac{4x+1}{2x+3}\)

\(B = \frac{2(2x+3) – 6 + 1}{2x+3}\)

\(B = \frac{2(2x+3) – 5}{2x+3}\)

\(B = \frac{2(2x+3)}{2x+3} – \frac{5}{2x+3}\)

\(B = 2 – \frac{5}{2x+3}\)

a, Tìm x nguyên để B đạt giá trị nhỏ nhất

Chúng ta có \(B = 2 – \frac{5}{2x+3}\).

Để B đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần trừ đi một số lớn nhất có thể. Điều này có nghĩa là \(\frac{5}{2x+3}\) phải đạt giá trị dương lớn nhất.

Để \(\frac{5}{2x+3}\) là số dương lớn nhất, thì \((2x+3)\) phải là số dương nhỏ nhất và là ước của 5.

Các ước dương của 5 là \(\{1; 5\}\).

• Nếu \(2x+3 = 1 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1\).
  Khi đó \(B = 2 – \frac{5}{1} = 2 – 5 = -3\).
• Nếu \(2x+3 = 5 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1\).
  Khi đó \(B = 2 – \frac{5}{5} = 2 – 1 = 1\).

Ta thấy giá trị nhỏ nhất của B là -3 khi \(x = -1\).

(Lưu ý: Nếu \((2x+3)\) là số âm, thì \(\frac{5}{2x+3}\) sẽ là số âm. Khi đó \(B = 2 – (\text{số âm}) = 2 + (\text{số dương})\), giá trị B sẽ lớn hơn. Ví dụ, nếu \(2x+3 = -1 \Rightarrow x = -2\), thì \(B = 2 – \frac{5}{-1} = 2+5 = 7\), lớn hơn -3.)

Vậy, x nguyên để B đạt giá trị nhỏ nhất là \(x = -1\), và giá trị nhỏ nhất của B là -3.

b, Tìm x nguyên để B đạt giá trị lớn nhất

Chúng ta có \(B = 2 – \frac{5}{2x+3}\).

Để B đạt giá trị lớn nhất, ta cần trừ đi một số nhỏ nhất có thể. Điều này có nghĩa là \(\frac{5}{2x+3}\) phải đạt giá trị âm lớn nhất (tức là âm nhưng có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất), hoặc đạt giá trị dương nhỏ nhất.

Xét lại các trường hợp của \((2x+3)\) là ước của 5:

• Nếu \(2x+3 = -5 \Rightarrow 2x = -8 \Rightarrow x = -4\).
  Khi đó \(B = 2 – \frac{5}{-5} = 2 – (-1) = 2 + 1 = 3\).
• Nếu \(2x+3 = -1 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2\).
  Khi đó \(B = 2 – \frac{5}{-1} = 2 – (-5) = 2 + 5 = 7\).
• Nếu \(2x+3 = 1 \Rightarrow x = -1\). \(B = -3\).
• Nếu \(2x+3 = 5 \Rightarrow x = 1\). \(B = 1\).

So sánh các giá trị B tìm được: \(-3, 1, 3, 7\). Giá trị lớn nhất là 7.

Vậy, x nguyên để B đạt giá trị lớn nhất là \(x = -2\), và giá trị lớn nhất của B là 7.

c, Tìm giá trị nhỏ nhất của B với x thuộc N*

Với \(x \in \mathbb{N}^*\), tức là x là số tự nhiên dương \(\{1, 2, 3, …\}\).

Chúng ta có \(B = 2 – \frac{5}{2x+3}\).

Để B đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần trừ đi một số lớn nhất có thể. Điều này có nghĩa là \(\frac{5}{2x+3}\) phải đạt giá trị dương lớn nhất.

Để \(\frac{5}{2x+3}\) đạt giá trị dương lớn nhất, thì \((2x+3)\) phải là số dương nhỏ nhất.

Vì \(x \in \mathbb{N}^*\), nên giá trị nhỏ nhất của x là 1.

• Nếu \(x = 1\): \(2x+3 = 2(1)+3 = 5\).
  Khi đó \(B = 2 – \frac{5}{5} = 2 – 1 = 1\).
• Nếu \(x = 2\): \(2x+3 = 2(2)+3 = 7\).
  Khi đó \(B = 2 – \frac{5}{7} = \frac{14-5}{7} = \frac{9}{7}\).
• Nếu \(x = 3\): \(2x+3 = 2(3)+3 = 9\).
  Khi đó \(B = 2 – \frac{5}{9} = \frac{18-5}{9} = \frac{13}{9}\).

Ta thấy khi x tăng, mẫu số \((2x+3)\) tăng, phân số \(\frac{5}{2x+3}\) giảm (nhưng vẫn dương). Khi đó, B sẽ tăng (vì \(B = 2 – (\text{giá trị dương giảm dần})\)).

Do đó, B đạt giá trị nhỏ nhất khi \(2x+3\) nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của \(2x+3\) với \(x \in \mathbb{N}^*\) là khi \(x=1\), ta có \(2x+3 = 5\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của B là 1, khi \(x=1\).

—

Câu 3. Tìm x,y nguyên thỏa mãn \(\frac{x-2}{5} = \frac{-2}{2y+1}\)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất cơ bản của phân số bằng nhau: tích chéo.

\(\frac{x-2}{5} = \frac{-2}{2y+1}\)

\((x-2) \cdot (2y+1) = 5 \cdot (-2)\)

\((x-2) \cdot (2y+1) = -10\)

Vì x, y là các số nguyên, nên \((x-2)\) và \((2y+1)\) phải là các ước nguyên của -10.

Hơn nữa, ta nhận thấy rằng \(2y\) là một số chẵn, nên \(2y+1\) luôn là một số lẻ.

Các ước của -10 là: \(\{ -10; -5; -2; -1; 1; 2; 5; 10 \}\).

Trong các ước này, các ước lẻ là: \(\{ -5; -1; 1; 5 \}\).

Ta lập bảng xét các trường hợp cho \((2y+1)\) và \((x-2)\):

Vậy, các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn điều kiện là:

\((4; -3)\), \((12; -1)\), \((-8; 0)\), \((0; 2)\).

—

Hy vọng các em đã hiểu rõ các bước giải và cách trình bày. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!