Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán rút gọn biểu thức khá thú vị. Đây là dạng bài tập giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng phân tích, nhóm hạng tử và áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. Chúng ta hãy cùng bắt đầu nhé!

Bài 6: Rút gọn các biểu thức sau:

a, \((x-y)(y+z)(z+x)+(x+y)(y-z)(z+x)+(x+y)(y+z)(z-x)\)

Giải:

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta sẽ quan sát các hạng tử và tìm kiếm các nhân tử chung hoặc các phần có thể nhóm lại.

Biểu thức đã cho là:
\(A = (x-y)(y+z)(z+x) + (x+y)(y-z)(z+x) + (x+y)(y+z)(z-x)\)

Bước 1: Ta nhận thấy hai hạng tử đầu tiên có nhân tử chung là \((z+x)\). Chúng ta sẽ nhóm chúng lại:

\(A = (z+x) \left[ (x-y)(y+z) + (x+y)(y-z) \right] + (x+y)(y+z)(z-x)\)

Bước 2: Rút gọn phần trong dấu ngoặc vuông \(\left[ (x-y)(y+z) + (x+y)(y-z) \right]\):

• Mở ngoặc \((x-y)(y+z)\):
  \((x-y)(y+z) = xy + xz – y^2 – yz\)
• Mở ngoặc \((x+y)(y-z)\):
  \((x+y)(y-z) = xy – xz + y^2 – yz\)
• Cộng hai kết quả trên lại:
  \((xy + xz – y^2 – yz) + (xy – xz + y^2 – yz)\)
  \(= xy + xz – y^2 – yz + xy – xz + y^2 – yz\)

  Các hạng tử \(xz\) và \(-xz\) triệt tiêu nhau. Các hạng tử \(-y^2\) và \(y^2\) triệt tiêu nhau.

  \(= (xy + xy) + (-yz – yz)\)
  \(= 2xy – 2yz\)
  \(= 2y(x-z)\)

Bước 3: Thay kết quả vừa tìm được vào biểu thức \(A\):

\(A = (z+x) [2y(x-z)] + (x+y)(y+z)(z-x)\)

Lưu ý rằng \((x-z) = -(z-x)\). Chúng ta sẽ thay thế để có nhân tử chung \((z-x)\):

\(A = (z+x) [2y(-(z-x))] + (x+y)(y+z)(z-x)\)

\(A = -2y(z+x)(z-x) + (x+y)(y+z)(z-x)\)

Bước 4: Bây giờ, chúng ta thấy nhân tử chung là \((z-x)\). Đặt \((z-x)\) ra ngoài:

\(A = (z-x) \left[ -2y(z+x) + (x+y)(y+z) \right]\)

Bước 5: Rút gọn phần trong dấu ngoặc vuông \(\left[ -2y(z+x) + (x+y)(y+z) \right]\):

• Mở ngoặc \(-2y(z+x)\):
  \(= -2yz – 2xy\)
• Mở ngoặc \((x+y)(y+z)\):
  \(= xy + xz + y^2 + yz\)
• Cộng hai kết quả trên lại:
  \(= (-2yz – 2xy) + (xy + xz + y^2 + yz)\)
  \(= -2yz – 2xy + xy + xz + y^2 + yz\)

  Nhóm các hạng tử đồng dạng:

  \(= y^2 + (-2xy + xy) + (-2yz + yz) + xz\)
  \(= y^2 – xy – yz + xz\)

Bước 6: Phân tích nhân tử biểu thức \(y^2 – xy – yz + xz\):

Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử:

\(= (y^2 – xy) – (yz – xz)\)
\(= y(y-x) – z(y-x)\)
\(= (y-x)(y-z)\)

Bước 7: Thay kết quả vừa tìm được vào biểu thức \(A\):

\(A = (z-x)(y-x)(y-z)\)

Để biểu thức trông “đẹp” hơn và theo thứ tự vòng tròn, chúng ta có thể viết lại như sau:

Mặt khác:
\((z-x) = -(x-z)\)
\((y-x) = -(x-y)\)
\((y-z) = -(z-y)\)

Nếu chúng ta muốn có \((x-y)(y-z)(z-x)\), ta có thể viết:

\(A = (z-x)(y-x)(y-z) = (z-x) \cdot (-(x-y)) \cdot (-(z-y)) = (z-x)(x-y)(z-y)\)

Hoặc nếu muốn theo thứ tự \((x-y)(y-z)(z-x)\):

\(A = -(x-z) \cdot (-(x-y)) \cdot (y-z)\)
\(= (x-z)(x-y)(y-z)\) (Nếu đổi dấu hai lần)
Hoặc:
\(= (z-x)(y-x)(y-z)\)
\(= -(x-z) \cdot (-(x-y)) \cdot (y-z)\)
\(= (x-z)(x-y)(y-z)\)

Kết quả cuối cùng thường được viết là \(-(x-y)(y-z)(z-x)\) hoặc \((x-y)(z-y)(x-z)\).

Vậy, \((z-x)(y-x)(y-z) = -(x-z) \cdot (-(x-y)) \cdot (y-z) = (x-z)(x-y)(y-z)\)

Hay có thể viết là \((x-y)(y-z)(x-z)\) hoặc \(-(x-y)(y-z)(z-x)\).

Kết quả cuối cùng: \((x-y)(y-z)(x-z)\)

—

b, \((2x+y)(2y+z)(2z+x)-(2x-y)(2y-z)(2z-x)\)

Giải:

Biểu thức này có dạng \((A+B)(C+D)(E+F) – (A-B)(C-D)(E-F)\). Đây là một dạng bài tập quen thuộc mà chúng ta có thể tận dụng tính chất đối xứng của các hạng tử khi khai triển.

Đặt \((2x+y)(2y+z)(2z+x) = P_1\) và \((2x-y)(2y-z)(2z-x) = P_2\).

Chúng ta cần tính \(P_1 – P_2\).

Khi khai triển tích của ba nhị thức, ví dụ \((a+b)(c+d)(e+f)\), chúng ta sẽ có tổng của \(2 \times 2 \times 2 = 8\) hạng tử.

Tương tự, khi khai triển \((a-b)(c-d)(e-f)\), các hạng tử sẽ có dấu phụ thuộc vào số lượng các thừa số \(-b, -d, -f\).

Cụ thể:

• Các hạng tử không chứa \(y, z, x\) (từ vế sau của mỗi ngoặc): Chỉ có hạng tử \((2x)(2y)(2z)\). Hạng tử này xuất hiện ở cả \(P_1\) và \(P_2\) với dấu dương, nên khi trừ đi sẽ triệt tiêu.
• Các hạng tử chứa đúng một trong các thừa số \(y, z, x\):
  • \((y)(2y)(2z)\) trong \(P_1\). Trong \(P_2\), nó sẽ là \((-y)(2y)(2z)\). Khi trừ: \((y)(2y)(2z) – ((-y)(2y)(2z)) = 2 \cdot y \cdot (2y) \cdot (2z) = 8y^2z\).
  • \((2x)(z)(2z)\) trong \(P_1\). Trong \(P_2\), nó sẽ là \((2x)(-z)(2z)\). Khi trừ: \((2x)(z)(2z) – ((2x)(-z)(2z)) = 2 \cdot (2x) \cdot z \cdot (2z) = 8xz^2\).
  • \((2x)(2y)(x)\) trong \(P_1\). Trong \(P_2\), nó sẽ là \((2x)(2y)(-x)\). Khi trừ: \((2x)(2y)(x) – ((2x)(2y)(-x)) = 2 \cdot (2x) \cdot (2y) \cdot x = 8x^2y\).
• Các hạng tử chứa đúng hai trong các thừa số \(y, z, x\):
  • Ví dụ: \((y)(z)(2z)\). Trong \(P_1\) là \((y)(z)(2z)\). Trong \(P_2\) là \((-y)(-z)(2z) = (y)(z)(2z)\). Khi trừ đi sẽ triệt tiêu.
  • Tương tự, các hạng tử \((y)(2y)(x)\) và \((2x)(z)(x)\) cũng sẽ triệt tiêu.
• Các hạng tử chứa cả ba thừa số \(y, z, x\):
  • \((y)(z)(x)\) trong \(P_1\). Trong \(P_2\), nó sẽ là \((-y)(-z)(-x) = -(y)(z)(x)\). Khi trừ: \((y)(z)(x) – (-(y)(z)(x)) = 2 \cdot yzx = 2xyz\).

Tóm lại, khi thực hiện phép trừ \((A+B)(C+D)(E+F) – (A-B)(C-D)(E-F)\), các hạng tử có số lẻ các thành phần \((B, D, F)\) sẽ được nhân đôi, còn các hạng tử có số chẵn (0 hoặc 2) các thành phần \((B, D, F)\) sẽ bị triệt tiêu.

Vậy, kết quả sẽ là 2 lần tổng của các hạng tử sau:

1. Hạng tử chỉ chứa 1 trong các biến \(y, z, x\):
   • \((y) \cdot (2y) \cdot (2z) = 4y^2z\)
   • \((2x) \cdot (z) \cdot (2z) = 4xz^2\)
   • \((2x) \cdot (2y) \cdot (x) = 4x^2y\)
2. Hạng tử chứa cả 3 biến \(y, z, x\):
   • \((y) \cdot (z) \cdot (x) = xyz\)

Tổng của các hạng tử này là: \(4y^2z + 4xz^2 + 4x^2y + xyz\).

Nhân 2 lên để có kết quả cuối cùng:

\(2 \times (4y^2z + 4xz^2 + 4x^2y + xyz)\)
\(= 8y^2z + 8xz^2 + 8x^2y + 2xyz\)

Kết quả cuối cùng: \(8x^2y + 8y^2z + 8xz^2 + 2xyz\)

Các em thấy đó, đôi khi việc nhận diện cấu trúc của biểu thức sẽ giúp chúng ta giải quyết bài toán nhanh chóng và chính xác hơn rất nhiều so với việc khai triển trực tiếp toàn bộ biểu thức.

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán nhé!