Chào các em học sinh lớp 8!

Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết một số bài tập về biến đổi biểu thức đại số, đặc biệt là các bài tập sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. Đây là kiến thức nền tảng rất quan trọng cho các em trong chương trình Toán lớp 8 và cả sau này.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Phần I: Các bài tập về tổng của các bình phương

Các em hãy nhớ lại hai hằng đẳng thức cơ bản sau:

• Bình phương của một tổng: \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \)
• Bình phương của một hiệu: \( (A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 \)

Bài 1: Tính: \( (2x+1)^2 + (2x-1)^2 \)

Lời giải:

Áp dụng các hằng đẳng thức đã học:

\( (2x+1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1 \)

\( (2x-1)^2 = (2x)^2 – 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 – 4x + 1 \)

Cộng hai biểu thức trên, ta được:

\( (2x+1)^2 + (2x-1)^2 = (4x^2 + 4x + 1) + (4x^2 – 4x + 1) \)

\( = 4x^2 + 4x + 1 + 4x^2 – 4x + 1 \)

\( = (4x^2 + 4x^2) + (4x – 4x) + (1 + 1) \)

\( = 8x^2 + 0 + 2 \)

\( = 8x^2 + 2 \)

Bài 2: Tính: \( (3x+y)^2 + (x-y)^2 \)

Lời giải:

Áp dụng các hằng đẳng thức:

\( (3x+y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot y + y^2 = 9x^2 + 6xy + y^2 \)

\( (x-y)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot y + y^2 = x^2 – 2xy + y^2 \)

Cộng hai biểu thức trên, ta được:

\( (3x+y)^2 + (x-y)^2 = (9x^2 + 6xy + y^2) + (x^2 – 2xy + y^2) \)

\( = 9x^2 + 6xy + y^2 + x^2 – 2xy + y^2 \)

\( = (9x^2 + x^2) + (6xy – 2xy) + (y^2 + y^2) \)

\( = 10x^2 + 4xy + 2y^2 \)

Bài 3: Tính: \( (x-4y)^2 + (x+4y)^2 \)

Lời giải:

Áp dụng các hằng đẳng thức:

\( (x-4y)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot (4y) + (4y)^2 = x^2 – 8xy + 16y^2 \)

\( (x+4y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (4y) + (4y)^2 = x^2 + 8xy + 16y^2 \)

Cộng hai biểu thức trên, ta được:

\( (x-4y)^2 + (x+4y)^2 = (x^2 – 8xy + 16y^2) + (x^2 + 8xy + 16y^2) \)

\( = x^2 – 8xy + 16y^2 + x^2 + 8xy + 16y^2 \)

\( = (x^2 + x^2) + (-8xy + 8xy) + (16y^2 + 16y^2) \)

\( = 2x^2 + 0 + 32y^2 \)

\( = 2x^2 + 32y^2 \)

Bài 4: Tính: \( (2x+1)^2 + (-3x-1)^2 \)

Lời giải:

Trước hết, ta biến đổi \((-3x-1)^2\). Lưu ý rằng \( (-A-B)^2 = (-(A+B))^2 = (A+B)^2 \).

Vậy, \( (-3x-1)^2 = (3x+1)^2 \).

Áp dụng các hằng đẳng thức:

\( (2x+1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1 \)

\( (-3x-1)^2 = (3x+1)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 + 6x + 1 \)

Cộng hai biểu thức trên, ta được:

\( (2x+1)^2 + (-3x-1)^2 = (4x^2 + 4x + 1) + (9x^2 + 6x + 1) \)

\( = 4x^2 + 4x + 1 + 9x^2 + 6x + 1 \)

\( = (4x^2 + 9x^2) + (4x + 6x) + (1 + 1) \)

\( = 13x^2 + 10x + 2 \)

Bài 5: Tính: \( (2x+7)^2 + (-2x-3)^2 \)

Lời giải:

Tương tự bài trên, ta biến đổi \( (-2x-3)^2 = (2x+3)^2 \).

Áp dụng các hằng đẳng thức:

\( (2x+7)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 7 + 7^2 = 4x^2 + 28x + 49 \)

\( (-2x-3)^2 = (2x+3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9 \)

Cộng hai biểu thức trên, ta được:

\( (2x+7)^2 + (-2x-3)^2 = (4x^2 + 28x + 49) + (4x^2 + 12x + 9) \)

\( = 4x^2 + 28x + 49 + 4x^2 + 12x + 9 \)

\( = (4x^2 + 4x^2) + (28x + 12x) + (49 + 9) \)

\( = 8x^2 + 40x + 58 \)

Phần II: Các bài tập tổng hợp

Phần này yêu cầu chúng ta kết hợp phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức và các hằng đẳng thức.

Các em hãy nhớ thêm các kiến thức sau:

• Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: \( A(B+C) = AB + AC \)
• Quy tắc nhân đa thức với đa thức: \( (A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD \)
• Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \( (A-B)(A+B) = A^2 – B^2 \)

Bài 1: Tính: \( x(1-x) + (x-1)^2 \)

Lời giải:

Ta thực hiện từng phép tính:

\( x(1-x) = x \cdot 1 – x \cdot x = x – x^2 \)

\( (x-1)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 – 2x + 1 \)

Cộng hai biểu thức trên, ta được:

\( x(1-x) + (x-1)^2 = (x – x^2) + (x^2 – 2x + 1) \)

\( = x – x^2 + x^2 – 2x + 1 \)

\( = (-x^2 + x^2) + (x – 2x) + 1 \)

\( = 0 – x + 1 \)

\( = 1 – x \)

Bài 2: Tính: \( (x-3)^2 – x^2 + 10x – 7 \)

Lời giải:

Trước hết, khai triển \((x-3)^2\):

\( (x-3)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 – 6x + 9 \)

Thay vào biểu thức ban đầu:

\( (x-3)^2 – x^2 + 10x – 7 = (x^2 – 6x + 9) – x^2 + 10x – 7 \)

\( = x^2 – 6x + 9 – x^2 + 10x – 7 \)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

\( = (x^2 – x^2) + (-6x + 10x) + (9 – 7) \)

\( = 0 + 4x + 2 \)

\( = 4x + 2 \)

Bài 3: Tính: \( (x+2)^2 – (x-3)(x+1) \)

Lời giải:

Khai triển từng phần:

\( (x+2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4 \)

\( (x-3)(x+1) = x \cdot x + x \cdot 1 – 3 \cdot x – 3 \cdot 1 \)

\( = x^2 + x – 3x – 3 \)

\( = x^2 – 2x – 3 \)

Thực hiện phép trừ:

\( (x+2)^2 – (x-3)(x+1) = (x^2 + 4x + 4) – (x^2 – 2x – 3) \)

\( = x^2 + 4x + 4 – x^2 + 2x + 3 \)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

\( = (x^2 – x^2) + (4x + 2x) + (4 + 3) \)

\( = 0 + 6x + 7 \)

\( = 6x + 7 \)

Bài 4: Tính: \( (x+4)(x-2) – (x-3)^2 \)

Lời giải:

Khai triển từng phần:

\( (x+4)(x-2) = x \cdot x + x \cdot (-2) + 4 \cdot x + 4 \cdot (-2) \)

\( = x^2 – 2x + 4x – 8 \)

\( = x^2 + 2x – 8 \)

\( (x-3)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 – 6x + 9 \)

Thực hiện phép trừ:

\( (x+4)(x-2) – (x-3)^2 = (x^2 + 2x – 8) – (x^2 – 6x + 9) \)

\( = x^2 + 2x – 8 – x^2 + 6x – 9 \)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

\( = (x^2 – x^2) + (2x + 6x) + (-8 – 9) \)

\( = 0 + 8x – 17 \)

\( = 8x – 17 \)

Bài 5: Tính: \( (x-2)^2 + (x-1)(x+5) \)

Lời giải:

Khai triển từng phần:

\( (x-2)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 – 4x + 4 \)

\( (x-1)(x+5) = x \cdot x + x \cdot 5 – 1 \cdot x – 1 \cdot 5 \)

\( = x^2 + 5x – x – 5 \)

\( = x^2 + 4x – 5 \)

Thực hiện phép cộng:

\( (x-2)^2 + (x-1)(x+5) = (x^2 – 4x + 4) + (x^2 + 4x – 5) \)

\( = x^2 – 4x + 4 + x^2 + 4x – 5 \)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

\( = (x^2 + x^2) + (-4x + 4x) + (4 – 5) \)

\( = 2x^2 + 0 – 1 \)

\( = 2x^2 – 1 \)

Bài 6: Tính: \( (x+3)(x-3) – x(23+x) \)

Lời giải:

Khai triển từng phần:

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho \((x+3)(x-3)\):

\( (x+3)(x-3) = x^2 – 3^2 = x^2 – 9 \)

Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức cho \(x(23+x)\):

\( x(23+x) = x \cdot 23 + x \cdot x = 23x + x^2 \)

Thực hiện phép trừ:

\( (x+3)(x-3) – x(23+x) = (x^2 – 9) – (23x + x^2) \)

\( = x^2 – 9 – 23x – x^2 \)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

\( = (x^2 – x^2) – 23x – 9 \)

\( = 0 – 23x – 9 \)

\( = -23x – 9 \)

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải các bài tập trên. Hãy luyện tập thêm để thành thạo các dạng bài này nhé!