Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui khi được đồng hành cùng các em trong bài toán này. Đây là một dạng bài nâng cao thú vị và đòi hỏi sự suy luận cẩn thận. Cô tin rằng với sự hướng dẫn chi tiết, các em sẽ nắm vững cách giải và cảm thấy tự tin hơn với các bài toán tương tự nhé! Đừng lo, chúng ta sẽ cùng nhau “mổ xẻ” từng bước một.

Đề bài: Tìm \(x\) nguyên để biểu thức \(\frac{-6x-9}{7x-5}\) là số nguyên.

Lời giải chi tiết:

Để một phân số là số nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số. Trong trường hợp này, chúng ta cần tìm \(x\) nguyên sao cho \((-6x-9)\) chia hết cho \((7x-5)\).

Đây là dạng bài có biến \(x\) ở cả tử và mẫu, nên chúng ta cần một chút “mẹo” nhỏ để biến đổi biểu thức về dạng quen thuộc hơn.

Bước 1: Biến đổi biểu thức ban đầu.

Gọi biểu thức đã cho là \(A\). Ta có:

\(A = \frac{-6x-9}{7x-5}\)

Mục tiêu của chúng ta là làm cho tử số xuất hiện một biểu thức có dạng là bội của mẫu số \((7x-5)\) để có thể rút gọn.
Vì mẫu số có hệ số của \(x\) là \(7\) và tử số có hệ số của \(x\) là \(-6\), chúng ta sẽ nhân biểu thức \(A\) với một số thích hợp (là bội chung nhỏ nhất của \(7\) và \(6\), hoặc đơn giản là \(7\) để làm mất \(x\) ở tử số sau khi chia) để tạo ra sự đồng bộ ở tử số.

Chúng ta sẽ nhân cả biểu thức \(A\) với \(7\) (là hệ số của \(x\) ở mẫu số) để dễ dàng tạo ra một số hạng là bội của mẫu số trong tử:

\(7A = 7 \cdot \frac{-6x-9}{7x-5}\)

\(7A = \frac{7(-6x-9)}{7x-5}\)

\(7A = \frac{-42x-63}{7x-5}\)

Bây giờ, ở tử số có \(-42x\). Chúng ta muốn tạo ra một số hạng có dạng \(-6(7x-5)\). Cùng xem thử:

\(-6(7x-5) = -42x + 30\)

Chúng ta sẽ thay \(-42x\) trong tử số bằng \(-6(7x-5) + 30\):

\(7A = \frac{-6(7x-5) + 30 – 63}{7x-5}\)

\(7A = \frac{-6(7x-5) – 33}{7x-5}\)

Bây giờ, chúng ta có thể tách phân số này thành hai phần:

\(7A = \frac{-6(7x-5)}{7x-5} – \frac{33}{7x-5}\)

\(7A = -6 – \frac{33}{7x-5}\)

Bước 2: Sử dụng điều kiện “số nguyên”.

Để \(A\) là một số nguyên thì \(7A\) cũng phải là một số nguyên (vì \(7\) là số nguyên).
Ta có \(7A = -6 – \frac{33}{7x-5}\).

Vì \(-6\) là một số nguyên, nên để \(7A\) là số nguyên thì \(\frac{33}{7x-5}\) cũng phải là một số nguyên.

Điều này có nghĩa là \((7x-5)\) phải là một ước của \(33\).

Bước 3: Tìm các ước của 33.

Các ước của \(33\) bao gồm cả số dương và số âm.
Ta có \(33 = 3 \times 11\).

Các ước của \(33\) là: \(\{\pm 1, \pm 3, \pm 11, \pm 33\}\).

Bước 4: Xét từng trường hợp của \((7x-5)\) và tìm \(x\) nguyên.

Chúng ta sẽ lập bảng để dễ dàng theo dõi các trường hợp:

Từ bảng trên, ta thấy chỉ có một trường hợp duy nhất cho ra giá trị \(x\) là số nguyên, đó là khi \(x = -4\).

Bước 5: Kiểm tra lại (tùy chọn nhưng rất nên làm!).

Với \(x = -4\), ta thay vào biểu thức ban đầu:

\(A = \frac{-6(-4)-9}{7(-4)-5}\)

\(A = \frac{24-9}{-28-5}\)

\(A = \frac{15}{-33}\)

\(A = -\frac{15}{33} = -\frac{5}{11}\)

Ôi! Có vẻ như cô đã nhầm ở bước biến đổi biểu thức! Hãy cùng xem lại thật kỹ nhé.

Chỗ này là lỗi sai rất phổ biến, may mắn là chúng ta đã kiểm tra lại!

Quay lại bước 1, chúng ta biến đổi \(7A = -6 – \frac{93}{7x-5}\) (Lỗi ở phần nháp ban đầu của cô đã được sửa).
Cô sẽ làm lại từ đầu để đảm bảo không có sai sót nào xảy ra. Cả cô và các em cùng cẩn thận nhé!

Làm lại cẩn thận từ đầu:

Bước 1: Biến đổi biểu thức ban đầu một cách chính xác.

Gọi biểu thức đã cho là \(A\). Ta có:

\(A = \frac{-6x-9}{7x-5}\)

Để \(A\) là số nguyên, thì \((-6x-9)\) phải chia hết cho \((7x-5)\).

Để khử \(x\) ở tử số, ta nhân \(A\) với \(7\) và nhân tử số với \(6\) (là BCNN của \(7\) và \(6\)).

Cách 1: Nhân với 7.

Nếu \(A\) là số nguyên, thì \(7A\) cũng là số nguyên.

\(7A = \frac{7(-6x-9)}{7x-5} = \frac{-42x-63}{7x-5}\)

Ta muốn tạo ra một bội của \((7x-5)\) ở tử số.
\(-42x-63 = -6(7x-5) + 30 – 63 = -6(7x-5) – 33\)

Vậy:

\(7A = \frac{-6(7x-5) – 33}{7x-5}\)

\(7A = -6 – \frac{33}{7x-5}\)

Để \(7A\) là số nguyên thì \(\frac{33}{7x-5}\) phải là số nguyên.

Điều này có nghĩa là \((7x-5)\) phải là một ước của \(33\).

Các ước của \(33\) là: \(\{\pm 1, \pm 3, \pm 11, \pm 33\}\).

Bước 2: Xét từng trường hợp của \((7x-5)\) và tìm \(x\) nguyên.

Chúng ta sẽ lập bảng để dễ dàng theo dõi các trường hợp:

Vậy, giá trị \(x\) nguyên duy nhất là \(-4\).

Bước 3: Kết luận.

Chỉ có một giá trị \(x\) nguyên thỏa mãn điều kiện là \(x = -4\).

Hy vọng qua lần giải thích này, các em đã hiểu rõ hơn về cách làm bài tập dạng này. Đừng ngần ngại đặt câu hỏi nếu có bất kỳ thắc mắc nào nhé! Cố gắng lên, các em sẽ làm được!

Chúc các em học tốt!

Cô giáo của các em.

Thêm một cách biến đổi khác (tư duy khác, nhưng kết quả sẽ giống nhau)

Chúng ta có thể nhân cả tử và mẫu của biểu thức với một số sao cho hệ số của \(x\) ở tử số trở thành một bội của hệ số \(x\) ở mẫu số. Bội chung nhỏ nhất của \(6\) và \(7\) là \(42\).

Ta muốn tử số có dạng \((7x-5)\) nhân với một số nguyên.

Biểu thức là \(A = \frac{-6x-9}{7x-5}\). Để \(A\) là số nguyên.

Đặt \(y = 7x-5\). Khi đó \(7x = y+5\).
Ta có \(x = \frac{y+5}{7}\).

Thay \(x\) vào tử số:

\(-6x-9 = -6 \left(\frac{y+5}{7}\right) – 9\)

\(= \frac{-6(y+5) – 9 \cdot 7}{7}\)

\(= \frac{-6y-30-63}{7}\)

\(= \frac{-6y-93}{7}\)

Vậy, \(A = \frac{\frac{-6y-93}{7}}{y} = \frac{-6y-93}{7y}\)

Vì \(A\) là số nguyên, nên \(\frac{-6y-93}{7y}\) phải là số nguyên.

Điều này có nghĩa là \(-6y-93\) phải chia hết cho \(7y\).

Mà \(-6y-93 = -6y – \frac{93}{7} \cdot 7\). Cách này hơi phức tạp vì có phân số.
Thực ra ta chỉ cần suy luận rằng \(7y\) là ước của \(-6y-93\).

Nếu \(7y\) là ước của \(-6y-93\), thì \(7y\) cũng là ước của \(7(-6y-93)\).

\(7(-6y-93) = -42y – 651\)

Mà \(7y\) là ước của \(-42y\) (vì \(-42y = -6 \cdot (7y)\)).

Vì \(7y\) là ước của \(-42y-651\) và \(7y\) là ước của \(-42y\), nên \(7y\) cũng phải là ước của \((-42y-651) – (-42y)\).

Tức là \(7y\) là ước của \(-651\).

Giờ ta phải tìm các ước của \(-651\).

\(651 = 3 \times 7 \times 31\)

Các ước của \(651\) là: \(\{\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21, \pm 31, \pm 93, \pm 217, \pm 651\}\).

Ta có \(7y = \text{một trong các ước trên}\).

Từ \(y = 7x-5\), ta có \(y\) là số nguyên (vì \(x\) nguyên).
Vậy, \(7y\) phải là một bội của \(7\).

Trong các ước của \(651\), những số là bội của \(7\) là:

\(\{\pm 7, \pm 21, \pm 93, \pm 217, \pm 651\}\) (À, không hẳn. \(93\) không phải bội của \(7\), \(651\) không phải bội của \(7\). Cẩn thận nhé!)

Các ước của \(651\) là bội của \(7\): \(\{\pm 7, \pm 21, \pm 217\}\).

Giờ ta xét từng trường hợp cho \(7y\):

Ồ! Kết quả vẫn chưa ra \(x=-4\)! Điều này cho thấy cách đặt \(y = 7x-5\) và biến đổi biểu thức \(\frac{-6y-93}{7y}\) cũng có thể dẫn đến sai sót nếu không cẩn thận hoặc nếu có một bước logic bị thiếu.
Lý do là ở chỗ “Nếu \(A\) là số nguyên, thì \(\frac{-6y-93}{7y}\) phải là số nguyên”. Điều này đúng.
Và từ đó suy ra \(7y\) là ước của \((-6y-93)\) là đúng.
Từ đó suy ra \(7y\) là ước của \(7(-6y-93)\) là đúng.
Từ đó suy ra \(7y\) là ước của \(-651\) là đúng.

Vậy vấn đề nằm ở đâu?

Vấn đề là khi \(7y\) là ước của \(-651\), ta tìm các ước của \(-651\) là bội của \(7\).
\(-651 = -1 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 31\).
Các ước của \(-651\) là: \(\{\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21, \pm 31, \pm 93, \pm 217, \pm 651\}\).

Các ước của \(-651\) mà là bội của \(7\) là:
\(\pm 7\)
\(\pm 21\)
\(\pm 217\)

Có lẽ cô đã bỏ sót trường hợp \(7y = \pm 651\)?
\(651\) có chia hết cho \(7\) không? \(651 / 7 = 93\). CÓ!
Vậy \(\pm 651\) cũng là bội của \(7\).

Tiếp tục bảng xét:

AHA! Lần này cô tìm được \(x = 14\).
Lần trước cô tìm được \(x = -4\).

Vậy là có 2 giá trị \(x\) thỏa mãn?

Hãy kiểm tra lại bước ban đầu:

\(7A = -6 – \frac{33}{7x-5}\)

Để \(7A\) là số nguyên, thì \(\frac{33}{7x-5}\) là số nguyên.

Nghĩa là \((7x-5)\) là ước của \(33\).

Các ước của \(33\) là \(\{\pm 1, \pm 3, \pm 11, \pm 33\}\).

Xét lại bảng ban đầu (cô đã làm đúng ở bảng đầu tiên):

Vậy, chỉ có \(x = -4\) là nghiệm duy nhất theo cách 1. Tại sao cách 2 lại ra \(x=14\)?

Hãy xem xét kỹ bước chuyển đổi ở cách 2:

Nếu \(A = \frac{-6x-9}{7x-5}\) là số nguyên, thì \(A = \frac{-6(\frac{y+5}{7}) – 9}{y} = \frac{\frac{-6y-30-63}{7}}{y} = \frac{-6y-93}{7y}\) là số nguyên.

Điều này có nghĩa là \((-6y-93)\) phải chia hết cho \(7y\).

Nếu \((-6y-93)\) chia hết cho \(7y\), thì \((-6y-93)\) chia hết cho \(y\).

Từ \((-6y-93)\) chia hết cho \(y\), ta suy ra \((-93)\) phải chia hết cho \(y\).

Vậy \(y\) phải là ước của \(-93\).

Các ước của \(-93\) là: \(\{\pm 1, \pm 3, \pm 31, \pm 93\}\).

Mà \(y = 7x-5\).

Bây giờ chúng ta lập bảng với \(y\) là ước của \(-93\):

Vậy theo cách thứ hai này, ta tìm được \(x = 14\).
Tại sao hai cách lại cho ra kết quả khác nhau? Cả hai cách đều biến đổi đúng và hợp lý.
Có một điều kiện phụ mà cô đã bỏ qua trong cách thứ hai.

Khi \(\frac{-6y-93}{7y}\) là số nguyên, thì ta không chỉ có \((-93)\) chia hết cho \(y\), mà còn phải có \((-6y-93)\) chia hết cho \(7\).

Điều này có nghĩa là \(-6y-93\) phải là bội của \(7\).
Hay \(-6y-93 \equiv 0 \pmod{7}\).

\(-6y-93 \equiv y-93 \pmod{7}\) (vì \(-6y \equiv y \pmod{7}\))

\(y-93 \equiv 0 \pmod{7}\)

\(y- (7 \cdot 13 + 2) \equiv 0 \pmod{7}\)

\(y-2 \equiv 0 \pmod{7}\)

Tức là \(y\) phải chia \(7\) dư \(2\).

Bây giờ ta kiểm tra lại các giá trị \(y\) mà ta tìm được (\(y\) là ước của \(-93\)) xem \(y\) nào chia \(7\) dư \(2\):

• \(y = 1\): \(1 \div 7\) dư \(1\). (Loại)
• \(y = -1\): \(-1 \equiv 6 \pmod{7}\). (Loại)
• \(y = 3\): \(3 \div 7\) dư \(3\). (Loại)
• \(y = -3\): \(-3 \equiv 4 \pmod{7}\). (Loại)
• \(y = 31\): \(31 = 4 \times 7 + 3\). Dư \(3\). (Loại)
• \(y = -31\): \(-31 = -5 \times 7 + 4\). Dư \(4\). (Loại)
• \(y = 93\): \(93 = 13 \times 7 + 2\). Dư \(2\). (Chọn!)
• \(y = -93\): \(-93 = -14 \times 7 + 5\). Dư \(5\). (Loại)

Vậy, chỉ có \(y = 93\) thỏa mãn cả hai điều kiện: \(y\) là ước của \(-93\) và \(y\) chia \(7\) dư \(2\).

Với \(y = 93\), ta có \(7x-5 = 93 \implies 7x = 98 \implies x = 14\).

Đây mới là kết quả chính xác theo cách thứ hai.

Vậy, cả hai cách làm đều dẫn đến kết quả khác nhau! Cô đã nhầm lẫn ở đâu đó trong quá trình giải thích ban đầu.
Đây là một ví dụ rất tốt để thấy rằng việc kiểm tra lại là cực kỳ quan trọng, đặc biệt trong toán học!

Làm lại lần cuối cùng một cách chính xác tuyệt đối, tránh mọi sai sót:

Bài toán: Tìm \(x\) nguyên để biểu thức \(A = \frac{-6x-9}{7x-5}\) là số nguyên.

Bước 1: Hiểu yêu cầu và điều kiện.

Để \(A\) là số nguyên, tử số \((-6x-9)\) phải chia hết cho mẫu số \((7x-5)\).

Bước 2: Biến đổi biểu thức để tách phần nguyên và phần phân số.

Để loại bỏ biến \(x\) ở tử số, chúng ta thường nhân biểu thức với một số sao cho hệ số của \(x\) ở tử số trở thành bội của hệ số \(x\) ở mẫu số. Trong trường hợp này, ta sẽ nhân \(A\) với \(7\) (hệ số của \(x\) ở mẫu).

Nếu \(A\) là số nguyên, thì \(7A\) cũng là số nguyên.

\(7A = 7 \cdot \frac{-6x-9}{7x-5} = \frac{-42x-63}{7x-5}\)

Bây giờ, chúng ta muốn tạo ra một số hạng là bội của \((7x-5)\) trong tử số. Ta thấy \(-42x\) là \(-6\) lần của \(7x\). Vậy ta thử tạo \(-6(7x-5)\):

\(-6(7x-5) = -42x + 30\)

Ta sẽ tách tử số \(-42x-63\) thành \(-6(7x-5)\) và phần còn lại:

\(-42x-63 = \underbrace{(-42x+30)}_{\text{là -6(7x-5)}} – 30 – 63 = -6(7x-5) – 93\)

Vậy, biểu thức \(7A\) trở thành:

\(7A = \frac{-6(7x-5) – 93}{7x-5}\)

\(7A = \frac{-6(7x-5)}{7x-5} – \frac{93}{7x-5}\)

\(7A = -6 – \frac{93}{7x-5}\)

Bước 3: Áp dụng điều kiện số nguyên.

Vì \(A\) là số nguyên, nên \(7A\) cũng là số nguyên.
Vì \(-6\) là một số nguyên, để \(7A\) là số nguyên thì \(\frac{93}{7x-5}\) cũng phải là một số nguyên.

Điều này có nghĩa là \((7x-5)\) phải là một ước của \(93\).

Bước 4: Tìm các ước của 93.

Phân tích số \(93\) thành thừa số nguyên tố: \(93 = 3 \times 31\).

Các ước nguyên của \(93\) là: \(\{\pm 1, \pm 3, \pm 31, \pm 93\}\).

Bước 5: Xét từng trường hợp để tìm \(x\) nguyên.

Chúng ta sẽ đặt \(7x-5\) bằng từng ước của \(93\) và giải phương trình tìm \(x\). Nhớ rằng \(x\) phải là số nguyên.

Từ bảng trên, chúng ta chỉ tìm được một giá trị \(x\) nguyên duy nhất là \(x = 14\).

Bước 6: Kiểm tra lại (rất quan trọng!).

Thay \(x=14\) vào biểu thức ban đầu:

\(A = \frac{-6(14)-9}{7(14)-5}\)

\(A = \frac{-84-9}{98-5}\)

\(A = \frac{-93}{93}\)

\(A = -1\)

Vì \(-1\) là một số nguyên, nên giá trị \(x=14\) là đúng.

Kết luận:

Giá trị \(x\) nguyên duy nhất để biểu thức \(\frac{-6x-9}{7x-5}\) là số nguyên là \(x = 14\).

Cô xin lỗi vì sự nhầm lẫn ban đầu và rất cảm ơn các em đã kiên nhẫn theo dõi. Việc tự kiểm tra lại và sửa sai là một kỹ năng vô cùng quý giá trong học tập và cả trong cuộc sống. Cô hy vọng qua bài học này, các em không chỉ hiểu cách giải toán mà còn học được tinh thần cẩn thận và không ngại sửa sai nhé!

Đây là một bài toán hay, các em đã làm rất tốt khi thử sức với nó! Tiếp tục phát huy nhé!

Chúc các em luôn yêu thích môn Toán!

Trân trọng,

Cô giáo Toán.