Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một hệ phương trình khá thú vị bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Đây là một phương pháp rất hữu ích để đơn giản hóa các bài toán phức tạp.

Hệ phương trình của chúng ta là:

\( \begin{cases}
\sqrt{x-1} – 3\sqrt{y+2} = 2 \quad (1) \\
2\sqrt{x-1} + 5\sqrt{y+2} = 15 \quad (2)
\end{cases} \)

Để giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hệ phương trình.

Vì các biểu thức nằm dưới dấu căn bậc hai, chúng ta cần đảm bảo chúng không âm:

\( \begin{cases}
x-1 \ge 0 \\
y+2 \ge 0
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
x \ge 1 \\
y \ge -2
\end{cases} \)

Đây là điều kiện quan trọng để lát nữa chúng ta kiểm tra nghiệm nhé!

Bước 2: Đặt ẩn phụ.

Quan sát hệ phương trình, các em thấy các biểu thức \( \sqrt{x-1} \) và \( \sqrt{y+2} \) lặp lại. Đây chính là dấu hiệu để chúng ta đặt ẩn phụ.

Đặt:
\( a = \sqrt{x-1} \)
\( b = \sqrt{y+2} \)

Vì \( a \) và \( b \) là giá trị của căn bậc hai, nên chúng phải luôn không âm.
Do đó, chúng ta có điều kiện cho ẩn phụ: \( a \ge 0 \) và \( b \ge 0 \).

Bước 3: Chuyển hệ phương trình ban đầu thành hệ phương trình với ẩn phụ.

Thay \( a \) và \( b \) vào hệ phương trình ban đầu, chúng ta được một hệ phương trình tuyến tính mới rất quen thuộc:

\( \begin{cases}
a – 3b = 2 \quad (I) \\
2a + 5b = 15 \quad (II)
\end{cases} \)

Bước 4: Giải hệ phương trình mới theo ẩn phụ \( a \) và \( b \).

Chúng ta có thể dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Ở đây, cô sẽ dùng phương pháp thế để các em dễ hình dung hơn.

Từ phương trình \( (I) \), chúng ta rút \( a \) theo \( b \):

\( a = 3b + 2 \)

Thế biểu thức của \( a \) vào phương trình \( (II) \):

\( 2(3b + 2) + 5b = 15 \)
\( 6b + 4 + 5b = 15 \)
\( 11b + 4 = 15 \)
\( 11b = 15 – 4 \)
\( 11b = 11 \)
\( b = 1 \)

Bây giờ, chúng ta tìm giá trị của \( a \) bằng cách thế \( b = 1 \) vào biểu thức \( a = 3b + 2 \):

\( a = 3(1) + 2 \)
\( a = 3 + 2 \)
\( a = 5 \)

Vậy, chúng ta tìm được \( a = 5 \) và \( b = 1 \).

Kiểm tra điều kiện của ẩn phụ:

Chúng ta thấy \( a = 5 \ge 0 \) và \( b = 1 \ge 0 \). Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện, nên chúng hợp lệ.

Bước 5: Trở về ẩn ban đầu \( x \) và \( y \).

Chúng ta đã đặt:
\( a = \sqrt{x-1} \) và \( b = \sqrt{y+2} \).
Bây giờ, chúng ta sẽ thay các giá trị của \( a \) và \( b \) vừa tìm được để tìm \( x \) và \( y \).

Với \( a = 5 \):

\( \sqrt{x-1} = 5 \)

Bình phương hai vế:

\( (\sqrt{x-1})^2 = 5^2 \)
\( x-1 = 25 \)
\( x = 25 + 1 \)
\( x = 26 \)

Với \( b = 1 \):

\( \sqrt{y+2} = 1 \)

Bình phương hai vế:

\( (\sqrt{y+2})^2 = 1^2 \)
\( y+2 = 1 \)
\( y = 1 – 2 \)
\( y = -1 \)

Bước 6: Kiểm tra nghiệm với điều kiện xác định ban đầu.

Chúng ta tìm được \( x = 26 \) và \( y = -1 \).

Kiểm tra với điều kiện: \( x \ge 1 \) và \( y \ge -2 \).

Với \( x = 26 \): \( 26 \ge 1 \) (Thỏa mãn)
Với \( y = -1 \): \( -1 \ge -2 \) (Thỏa mãn)

Vậy, cặp nghiệm \( (x, y) = (26, -1) \) là nghiệm của hệ phương trình.

Kết luận:

Tập nghiệm của hệ phương trình là \( S = \{ (26; -1) \} \).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình nhé! Chúc các em học tốt!