Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất hay về số hữu tỉ và số nguyên nhé. Bài toán này sẽ giúp chúng ta ôn lại kiến thức về phân số, phép chia hết và các loại số mà chúng ta đã học.

Đề bài: Cho số hữu tỉ \(x = \frac{3m – 12}{6}\) (với \(m \in \mathbb{Z}\)). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(x\) là số nguyên.

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải bài toán này thật chi tiết nhé!

Bài giải:

Bước 1: Hiểu rõ yêu cầu của đề bài

Đề bài cho chúng ta một số hữu tỉ \(x\) được viết dưới dạng phân số \(\frac{3m – 12}{6}\). Trong đó, \(m\) là một số nguyên (nghĩa là \(m\) có thể là các số như \(-2, -1, 0, 1, 2, …\)).

Yêu cầu của bài toán là tìm các giá trị của \(m\) (là số nguyên) sao cho \(x\) cũng là một số nguyên. Nói cách khác, chúng ta cần tìm \(m\) để giá trị của biểu thức \(\frac{3m – 12}{6}\) là một số nguyên.

Bước 2: Rút gọn biểu thức của \(x\)

Để việc tìm \(m\) trở nên dễ dàng hơn, chúng ta hãy rút gọn biểu thức của \(x\).

Ta có: \(x = \frac{3m – 12}{6}\)

Quan sát tử số \((3m – 12)\), chúng ta thấy cả \(3m\) và \(12\) đều chia hết cho \(3\). Vậy, chúng ta có thể đặt thừa số chung là \(3\) ra ngoài:

\(3m – 12 = 3 \cdot m – 3 \cdot 4 = 3(m – 4)\)

Thay vào biểu thức của \(x\), ta được:

\(x = \frac{3(m – 4)}{6}\)

Bây giờ, chúng ta thấy cả tử số và mẫu số đều chia hết cho \(3\). Chúng ta sẽ chia cả tử và mẫu cho \(3\):

\(x = \frac{3(m – 4) \div 3}{6 \div 3}\)

\(x = \frac{m – 4}{2}\)

Vậy, biểu thức của \(x\) sau khi rút gọn là \(x = \frac{m – 4}{2}\).

Bước 3: Áp dụng điều kiện để \(x\) là số nguyên

Bây giờ, chúng ta có \(x = \frac{m – 4}{2}\).

Để \(x\) là một số nguyên, thì tử số \((m – 4)\) phải chia hết cho mẫu số \(2\).

Nói cách khác, \((m – 4)\) phải là một bội của \(2\), hay \((m – 4)\) phải là một số chẵn.

Bước 4: Tìm giá trị của \(m\)

Chúng ta biết rằng \((m – 4)\) phải là một số chẵn.

Nhắc lại kiến thức về số chẵn và số lẻ:

• Số chẵn là số chia hết cho 2 (ví dụ: …, -4, -2, 0, 2, 4, …)
• Số lẻ là số không chia hết cho 2 (ví dụ: …, -3, -1, 1, 3, 5, …)

Chúng ta có hiệu \((m – 4)\) là số chẵn.

Chúng ta cũng biết rằng \(4\) là một số chẵn.

Nhớ lại quy tắc cộng trừ số chẵn/lẻ:

• Chẵn – Chẵn = Chẵn
• Lẻ – Chẵn = Lẻ
• Chẵn – Lẻ = Lẻ
• Lẻ – Lẻ = Chẵn

Vì \((m – 4)\) là số chẵn và \(4\) là số chẵn, suy ra \(m\) phải là số chẵn. (Chẵn – Chẵn = Chẵn)

Nếu \(m\) là số lẻ, thì (Lẻ – Chẵn) sẽ ra số lẻ, không thỏa mãn điều kiện.

Vậy, để \((m – 4)\) là số chẵn, thì \(m\) bắt buộc phải là một số chẵn.

Hoặc chúng ta có thể viết cụ thể hơn:

Vì \((m – 4)\) là số chẵn, ta có thể viết \((m – 4) = 2k\) với \(k\) là một số nguyên bất kỳ.

Từ đó, ta suy ra: \(m = 2k + 4\)

Vì \(2k\) là một số chẵn (là bội của 2) và \(4\) cũng là một số chẵn, nên tổng \(2k + 4\) luôn là một số chẵn.

Do đó, \(m\) phải là một số chẵn.

Kết luận:

Để số hữu tỉ \(x = \frac{3m – 12}{6}\) là một số nguyên, thì \(m\) phải là một số nguyên chẵn.

Hay \(m \in \{…, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, …\}\).

Các em có thể viết kết quả là: “m là số chẵn” hoặc “m có dạng 2k với k là số nguyên”.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy ghi nhớ các bước và cách phân tích đề bài nhé! Hẹn gặp lại các em trong các bài học tiếp theo!