Chào các em học sinh lớp 9!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Đây là một kỹ thuật rất hữu ích để đơn giản hóa các hệ phương trình phức tạp, đặc biệt là khi các biến số nằm ở mẫu số.

Đề bài: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

\( \frac{3}{5x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10} \) (1)

\( \frac{3}{4x} + \frac{3}{4y} = \frac{1}{12} \) (2)

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định các biểu thức lặp lại và đặt ẩn phụ.

Quan sát hai phương trình đã cho, các em có thể thấy rằng các biến \( x \) và \( y \) đều nằm ở mẫu số dưới dạng \( \frac{1}{x} \) và \( \frac{1}{y} \). Đây chính là dấu hiệu để chúng ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

Ta sẽ đặt:

\( a = \frac{1}{x} \)

\( b = \frac{1}{y} \)

Điều kiện: Vì \( x \) và \( y \) nằm ở mẫu số, nên \( x \neq 0 \) và \( y \neq 0 \).

Bước 2: Chuyển hệ phương trình ban đầu thành hệ phương trình theo ẩn phụ a và b.

Thay \( a = \frac{1}{x} \) và \( b = \frac{1}{y} \) vào hệ phương trình (1) và (2), ta được:

Từ (1): \( \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{x} + 1 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{10} \)

\( \Rightarrow \frac{3}{5}a + b = \frac{1}{10} \) (3)

Từ (2): \( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \)

\( \Rightarrow \frac{3}{4}a + \frac{3}{4}b = \frac{1}{12} \) (4)

Chúng ta có hệ phương trình mới theo ẩn a và b:

\( \begin{cases} \frac{3}{5}a + b = \frac{1}{10} \\ \frac{3}{4}a + \frac{3}{4}b = \frac{1}{12} \end{cases} \)

Bước 3: Giải hệ phương trình theo ẩn a và b.

Để dễ dàng tính toán hơn, chúng ta có thể quy đồng và khử mẫu cho từng phương trình:

Với phương trình (3): \( \frac{3}{5}a + b = \frac{1}{10} \)

Nhân cả hai vế với 10 (là Bội chung nhỏ nhất của 5 và 10), ta được:

\( 10 \left( \frac{3}{5}a \right) + 10b = 10 \left( \frac{1}{10} \right) \)

\( 6a + 10b = 1 \) (5)

Với phương trình (4): \( \frac{3}{4}a + \frac{3}{4}b = \frac{1}{12} \)

Nhân cả hai vế với 12 (là Bội chung nhỏ nhất của 4 và 12), ta được:

\( 12 \left( \frac{3}{4}a \right) + 12 \left( \frac{3}{4}b \right) = 12 \left( \frac{1}{12} \right) \)

\( 9a + 9b = 1 \) (6)

Bây giờ, chúng ta có hệ phương trình đơn giản hơn:

\( \begin{cases} 6a + 10b = 1 \\ 9a + 9b = 1 \end{cases} \)

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số (hoặc thế) để giải hệ này.

Để triệt tiêu ẩn \( b \), ta nhân phương trình (5) với 9 và phương trình (6) với 10:

Nhân (5) với 9: \( 9 \cdot (6a + 10b) = 9 \cdot 1 \Rightarrow 54a + 90b = 9 \) (7)

Nhân (6) với 10: \( 10 \cdot (9a + 9b) = 10 \cdot 1 \Rightarrow 90a + 90b = 10 \) (8)

Trừ phương trình (7) cho phương trình (8) (hoặc ngược lại):

\( (90a + 90b) – (54a + 90b) = 10 – 9 \)

\( 36a = 1 \)

\( a = \frac{1}{36} \)

Bây giờ, thay giá trị của \( a = \frac{1}{36} \) vào phương trình (5) để tìm \( b \):

\( 6 \left( \frac{1}{36} \right) + 10b = 1 \)

\( \frac{1}{6} + 10b = 1 \)

\( 10b = 1 – \frac{1}{6} \)

\( 10b = \frac{6}{6} – \frac{1}{6} \)

\( 10b = \frac{5}{6} \)

\( b = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{10} \)

\( b = \frac{5}{60} \)

\( b = \frac{1}{12} \)

Vậy, ta tìm được \( a = \frac{1}{36} \) và \( b = \frac{1}{12} \).

Bước 4: Trở lại biến x và y ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Chúng ta đã đặt \( a = \frac{1}{x} \) và \( b = \frac{1}{y} \).

Với \( a = \frac{1}{36} \):

\( \frac{1}{x} = \frac{1}{36} \Rightarrow x = 36 \)

Với \( b = \frac{1}{12} \):

\( \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \Rightarrow y = 12 \)

Các giá trị \( x = 36 \) và \( y = 12 \) đều thỏa mãn điều kiện \( x \neq 0 \) và \( y \neq 0 \).

Bước 5: Kết luận.

Vậy, nghiệm của hệ phương trình đã cho là \( (x; y) = (36; 12) \).

Các em nhớ kiểm tra lại các bước tính toán và đừng quên đưa ra điều kiện cho các biến khi chúng nằm ở mẫu số nhé!