Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một bài toán khá thú vị về phương trình mũ. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm các cặp số tự nhiên khác nhau \(x\) và \(y\) (ký hiệu là \(x \ne y \in \mathbb{N^*}\)) sao cho đẳng thức
\(x^y = y^x\) được thỏa mãn.

Bước 1: Phân tích bài toán và đưa ra các trường hợp.

Chúng ta có phương trình
\(x^y = y^x\).

Vì \(x, y \in \mathbb{N^*}\) nên \(x, y \ge 1\). Đồng thời, đề bài yêu cầu \(x \ne y\).

Ta có thể xét một số trường hợp nhỏ để có cái nhìn ban đầu.

Nếu \(x = 1\), phương trình trở thành \(1^y = y^1\), tức là \(1 = y\). Nhưng đề bài yêu cầu \(x \ne y\), nên trường hợp này loại.

Nếu \(y = 1\), phương trình trở thành \(x^1 = 1^x\), tức là \(x = 1\). Tương tự, trường hợp này cũng loại.

Vậy, chúng ta có thể giả định rằng \(x, y \ge 2\).

Bước 2: Biến đổi phương trình.

Từ phương trình
\(x^y = y^x\), ta lấy logarit cơ số \(e\) (hoặc bất kỳ cơ số nào khác) hai vế:

\(\ln(x^y) = \ln(y^x)\)

\(y \ln(x) = x \ln(y)\)

Chia cả hai vế cho \(xy\) (vì \(x, y \ge 2\) nên \(xy \ne 0\)):

\(\frac{\ln(x)}{x} = \frac{\ln(y)}{y}\)

Bước 3: Xét hàm số \(f(t) = \frac{\ln(t)}{t}\) với \(t \ge 2\).

Để tìm các cặp \(x, y\) thỏa mãn
\(f(x) = f(y)\) với \(x \ne y\), chúng ta cần phân tích hàm số \(f(t)\).

Ta tính đạo hàm của hàm số \(f(t)\):

\(f'(t) = \frac{\frac{1}{t} \cdot t – \ln(t) \cdot 1}{t^2} = \frac{1 – \ln(t)}{t^2}\)

Xét dấu của đạo hàm \(f'(t)\):

\(f'(t) = 0 \iff 1 – \ln(t) = 0 \iff \ln(t) = 1 \iff t = e\)

Khi \(t < e\), \(1 - \ln(t) > 0\), nên \(f'(t) > 0\), hàm số \(f(t)\) đồng biến.

Khi \(t > e\), \(1 – \ln(t) < 0\), nên \(f'(t) < 0\), hàm số \(f(t)\) nghịch biến.

Giá trị \(e \approx 2.718\).

Vì \(x, y\) là các số tự nhiên và \(x, y \ge 2\), chúng ta có thể xét các giá trị nguyên của \(t\).

Hàm số \(f(t)\) đồng biến trên khoảng \([2, e)\) và nghịch biến trên khoảng \((e, \infty)\).

Để có
\(f(x) = f(y)\) với \(x \ne y\), một trong hai giá trị phải nằm trong khoảng mà hàm số đồng biến, và giá trị còn lại nằm trong khoảng mà hàm số nghịch biến, sao cho chúng có cùng giá trị.

Do \(x, y\) là số tự nhiên, chúng ta xét các trường hợp sau:

• Một trong hai số (ví dụ \(x\)) nhỏ hơn hoặc bằng 2, và số còn lại (ví dụ \(y\)) lớn hơn \(e\).
• Hoặc cả hai số cùng nằm trên một khoảng đơn điệu nhưng có giá trị bằng nhau (điều này chỉ xảy ra khi \(x=y\), mà đề bài loại trừ).

Xét
\(x=2\). Ta có
\(f(2) = \frac{\ln(2)}{2}\).

Chúng ta cần tìm \(y > e\) sao cho
\(f(y) = \frac{\ln(y)}{y} = \frac{\ln(2)}{2}\).

Thử với các giá trị nguyên của \(y\) lớn hơn \(e \approx 2.718\). Ta xét \(y = 3, 4, 5, \dots\)

Nếu
\(y = 3\): \(f(3) = \frac{\ln(3)}{3}\). Ta cần so sánh
\(\frac{\ln(2)}{2}\) và
\(\frac{\ln(3)}{3}\).
\(\frac{\ln(2)}{2} = \frac{3\ln(2)}{6} = \frac{\ln(8)}{6}\).

\(\frac{\ln(3)}{3} = \frac{2\ln(3)}{6} = \frac{\ln(9)}{6}\).

Vì
\(\ln(8) < \ln(9)\), nên
\(f(2) < f(3)\).

Nếu
\(y = 4\): \(f(4) = \frac{\ln(4)}{4} = \frac{2\ln(2)}{4} = \frac{\ln(2)}{2}\).

Ôi, thật tuyệt vời! Chúng ta đã tìm thấy một cặp giá trị!

Khi
\(x=2\) và
\(y=4\), ta có
\(f(2) = \frac{\ln(2)}{2}\) và
\(f(4) = \frac{\ln(4)}{4} = \frac{\ln(2^2)}{4} = \frac{2\ln(2)}{4} = \frac{\ln(2)}{2}\).

Vậy là
\(f(2) = f(4)\).

Kiểm tra lại với phương trình ban đầu:

Với
\(x=2, y=4\):
\(x^y = 2^4 = 16\).

Với
\(y=4, x=2\):
\(y^x = 4^2 = 16\).

Do đó,
\(2^4 = 4^2\). Cặp
\((x, y) = (2, 4)\) là một nghiệm.

Tương tự, nếu ta chọn
\(x=4, y=2\), thì
\(x^y = 4^2 = 16\) và
\(y^x = 2^4 = 16\). Cặp
\((x, y) = (4, 2)\) cũng là một nghiệm.

Bước 4: Chứng minh sự duy nhất của nghiệm (ngoại trừ hoán vị).

Chúng ta đã thấy hàm số
\(f(t)\) đồng biến trên \([2, e)\) và nghịch biến trên \((e, \infty)\).

Vì \(x, y\) là số tự nhiên và
\(x \ne y\), để
\(f(x) = f(y)\), một trong hai số phải nhỏ hơn \(e\) và số còn lại phải lớn hơn \(e\).

Do \(x, y\) là số tự nhiên, nên các số nguyên có thể nằm trong khoảng \([2, e)\) chỉ có
\(t=2\). (Vì
\(e \approx 2.718\)).

Vậy, ta có thể giả sử
\(x = 2\). (Nếu
\(y=2\), thì
\(x\) phải lớn hơn \(e\)).

Khi
\(x=2\), ta có
\(f(2) = \frac{\ln(2)}{2}\). Ta cần tìm
\(y \in \mathbb{N^*}, y \ne 2\) sao cho
\(f(y) = \frac{\ln(y)}{y} = \frac{\ln(2)}{2}\).

Vì hàm số nghịch biến trên \((e, \infty)\) và
\(f(2) > 0\), sẽ có tối đa một giá trị
\(y > e\) sao cho
\(f(y) = f(2)\).

Chúng ta đã tìm thấy
\(y=4\) thỏa mãn.

Liệu có trường hợp nào khác không?

Nếu ta có hai cặp
\((x_1, y_1)\) và
\((x_2, y_2)\) với
\(x_1 \ne y_1\) và
\(x_2 \ne y_2\) sao cho
\(f(x_1) = f(y_1)\) và
\(f(x_2) = f(y_2)\).

Nếu ta xét
\(x=3\),
\(f(3) = \frac{\ln(3)}{3}\). Ta cần tìm
\(y\) sao cho
\(\frac{\ln(y)}{y} = \frac{\ln(3)}{3}\).

Vì hàm nghịch biến trên \((e, \infty)\) và
\(f(3) > 0\), sẽ có tối đa một giá trị
\(y > e\) sao cho
\(f(y) = f(3)\).

Tuy nhiên,
\(f(3) = \frac{\ln(3)}{3} \approx \frac{1.0986}{3} \approx 0.3662\).

Chúng ta đã biết
\(f(2) = \frac{\ln(2)}{2} \approx \frac{0.6931}{2} \approx 0.3465\).

Vì
\(f(3) > f(2)\) và hàm số đồng biến trên \([2, e)\), nên không có số tự nhiên nào nhỏ hơn \(e\) (ngoại trừ 2) mà có giá trị \(f(t)\) bằng
\(f(3)\).

Do đó, để
\(f(y) = f(3)\), ta cần tìm
\(y > e\).

Nếu
\(f(y) = f(3)\) với
\(y > e\), thì theo tính chất nghịch biến, sẽ chỉ có một giá trị
\(y\) duy nhất. Tuy nhiên, việc tìm nghiệm nguyên cho
\(\frac{\ln(y)}{y} = \frac{\ln(3)}{3}\) là khó khăn và thường không có nghiệm nguyên khác 3.

Một cách tổng quát hơn, chúng ta có thể biến đổi phương trình ban đầu như sau:

\(x^y = y^x\)

\(\Leftrightarrow (x^{1/x})^y = (y^{1/y})^x\)

\(\Leftrightarrow x^{1/x} = y^{1/y}\)

Xét hàm số
\(g(t) = t^{1/t}\) với
\(t \in \mathbb{N^*}\).

\(\ln(g(t)) = \ln(t^{1/t}) = \frac{1}{t} \ln(t) = f(t)\).

Do hàm logarit là hàm đồng biến, nên
\(g(x) = g(y) \iff f(x) = f(y)\).

Chúng ta cần tìm
\(x \ne y \in \mathbb{N^*}\) sao cho
\(x^{1/x} = y^{1/y}\).

Giả sử
\(y > x \ge 2\).

Ta thấy rằng
\(f(t)\) tăng từ
\(t=2\) đến
\(t=e\), và giảm từ
\(t=e\) trở đi.

Để
\(f(x) = f(y)\) với
\(x < y\), ta phải có
\(x\) nằm trong khoảng tăng và
\(y\) nằm trong khoảng giảm, hoặc cả hai cùng nằm trong khoảng giảm nhưng có giá trị bằng nhau (điều này không xảy ra vì \(x \ne y\)).

Xét
\(x=2\).
\(f(2) = \frac{\ln(2)}{2}\).

Ta cần tìm
\(y > 2\) sao cho
\(f(y) = \frac{\ln(y)}{y} = \frac{\ln(2)}{2}\).

Ta đã kiểm tra và thấy
\(y=4\) là một nghiệm.

Xét trường hợp
\(y > x \ge 3\). Thì cả
\(x\) và
\(y\) đều nằm trong khoảng mà hàm
\(f(t)\) nghịch biến (vì
\(3 > e\)). Trong một khoảng nghịch biến, nếu hai giá trị khác nhau có cùng giá trị hàm số thì là mâu thuẫn.

Vậy, chúng ta chỉ có thể có một số nhỏ hơn \(e\) và một số lớn hơn \(e\).

Với số tự nhiên, số nhỏ hơn \(e\) chỉ có thể là 2.

Vậy, các cặp số tự nhiên khác nhau
\(x, y\) thỏa mãn
\(x^y = y^x\) chỉ có thể là
\((2, 4)\) và
\((4, 2)\).

Kết luận:

Các cặp số tự nhiên khác nhau
\(x, y\) thỏa mãn phương trình
\(x^y = y^x\) là
\((2, 4)\) và
\((4, 2)\).

Các em đã thấy, bằng cách sử dụng đạo hàm của hàm số, chúng ta có thể giải quyết bài toán này một cách chặt chẽ. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em cứ mạnh dạn đặt ra nhé!