Bài 9: Một người đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn đường bằng và một đoạn đường dốc. Vận tốc trên đoạn đường bằng là 12 km/h, lên dốc là 8 km/h, xuống dốc là 15 km/h. Thời gian đi từ A đến B là 1 giờ 20 phút, thời gian về từ B đến A là 1 giờ 10 phút. Tính độ dài đoạn đường bằng và đoạn đường dốc.

Phân tích đề bài:

– Bài toán có hai chặng đường: đường bằng và đường dốc. Khi đi và về, đoạn đường bằng không đổi, nhưng đoạn đường dốc sẽ đổi trạng thái (lên dốc thành xuống dốc và ngược lại).

– Chúng ta có các thông tin về vận tốc trên từng loại đường và tổng thời gian đi/về.

– Yêu cầu là tìm độ dài của đoạn đường bằng và đoạn đường dốc.

Đặt ẩn:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đặt hai ẩn cho hai đại lượng cần tìm:

– Gọi \(x\) (km) là độ dài đoạn đường bằng.

– Gọi \(y\) (km) là độ dài đoạn đường dốc.

Điều kiện: \(x > 0, y > 0\).

Lập phương trình:

Chúng ta sẽ lập hai phương trình dựa trên thông tin về thời gian đi và thời gian về.

1. Chuyến đi từ A đến B:

– Đoạn đường bằng: dài \(x\) km, vận tốc \(12\) km/h. Thời gian đi trên đoạn bằng là \(t_{bằng\_AB} = \frac{x}{12}\) (giờ).

– Đoạn đường dốc: dài \(y\) km, vận tốc lên dốc là \(8\) km/h. Thời gian đi trên đoạn dốc là \(t_{dốc\_AB} = \frac{y}{8}\) (giờ).

– Tổng thời gian đi từ A đến B là 1 giờ 20 phút.

Đổi 1 giờ 20 phút ra giờ: \(1 \text{ giờ } 20 \text{ phút } = 1 + \frac{20}{60} \text{ giờ } = 1 + \frac{1}{3} \text{ giờ } = \frac{4}{3}\) giờ.

Vậy, ta có phương trình thứ nhất:

\(\frac{x}{12} + \frac{y}{8} = \frac{4}{3}\) (1)

2. Chuyến đi từ B về A:

– Khi đi từ B về A, đoạn đường bằng vẫn dài \(x\) km và vận tốc vẫn là \(12\) km/h. Thời gian đi trên đoạn bằng là \(t_{bằng\_BA} = \frac{x}{12}\) (giờ).

– Đoạn đường dốc: dài \(y\) km, nhưng bây giờ là xuống dốc, nên vận tốc xuống dốc là \(15\) km/h. Thời gian đi trên đoạn dốc là \(t_{dốc\_BA} = \frac{y}{15}\) (giờ).

– Tổng thời gian đi từ B về A là 1 giờ 10 phút.

Đổi 1 giờ 10 phút ra giờ: \(1 \text{ giờ } 10 \text{ phút } = 1 + \frac{10}{60} \text{ giờ } = 1 + \frac{1}{6} \text{ giờ } = \frac{7}{6}\) giờ.

Vậy, ta có phương trình thứ hai:

\(\frac{x}{12} + \frac{y}{15} = \frac{7}{6}\) (2)

Hệ phương trình:

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases} \frac{x}{12} + \frac{y}{8} = \frac{4}{3} \\ \frac{x}{12} + \frac{y}{15} = \frac{7}{6} \end{cases}\)

Giải hệ phương trình:

Để giải hệ này, chúng ta có thể dùng phương pháp cộng đại số (trừ hai phương trình) hoặc phương pháp thế.

Trừ phương trình (2) cho phương trình (1) (hoặc ngược lại) để loại bỏ ẩn \(x\):

\(\left(\frac{x}{12} + \frac{y}{8}\right) – \left(\frac{x}{12} + \frac{y}{15}\right) = \frac{4}{3} – \frac{7}{6}\)

\(\frac{y}{8} – \frac{y}{15} = \frac{8}{6} – \frac{7}{6}\)

Tìm mẫu số chung cho vế trái (\(8 \times 15 = 120\)) và vế phải (\(6\)):

\(\frac{15y}{120} – \frac{8y}{120} = \frac{1}{6}\)

\(\frac{7y}{120} = \frac{1}{6}\)

\(7y = \frac{120}{6}\)

\(7y = 20\)

\(y = \frac{20}{7}\) (km)

Bây giờ, thay \(y = \frac{20}{7}\) vào phương trình (1) (hoặc (2)) để tìm \(x\):

\(\frac{x}{12} + \frac{\frac{20}{7}}{8} = \frac{4}{3}\)

\(\frac{x}{12} + \frac{20}{7 \times 8} = \frac{4}{3}\)

\(\frac{x}{12} + \frac{20}{56} = \frac{4}{3}\)

Rút gọn phân số \(\frac{20}{56}\) (chia cả tử và mẫu cho 4): \(\frac{5}{14}\)

\(\frac{x}{12} + \frac{5}{14} = \frac{4}{3}\)

\(\frac{x}{12} = \frac{4}{3} – \frac{5}{14}\)

Tìm mẫu số chung cho vế phải (\(3 \times 14 = 42\)):

\(\frac{x}{12} = \frac{4 \times 14}{3 \times 14} – \frac{5 \times 3}{14 \times 3}\)

\(\frac{x}{12} = \frac{56}{42} – \frac{15}{42}\)

\(\frac{x}{12} = \frac{41}{42}\)

\(x = \frac{41 \times 12}{42}\)

Rút gọn \(\frac{12}{42}\) (chia cả tử và mẫu cho 6): \(\frac{2}{7}\)

\(x = \frac{41 \times 2}{7}\)

\(x = \frac{82}{7}\) (km)

Kết luận:

Vậy, độ dài đoạn đường bằng là \(\frac{82}{7}\) km và độ dài đoạn đường dốc là \(\frac{20}{7}\) km.

———–

Bài 10: Hai xe chuyển động đều trên một đường tròn chu vi 1.200 m. Nếu đi cùng chiều thì cứ sau 120 giây chúng lại gặp nhau. Nếu đi ngược chiều thì cứ sau 15 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe.

Phân tích đề bài:

– Bài toán liên quan đến chuyển động trên đường tròn.

– Chu vi đường tròn đã cho: \(C = 1200\) m.

– Hai trường hợp chuyển động: cùng chiều và ngược chiều, với thời gian gặp nhau tương ứng.

– Yêu cầu là tính vận tốc của mỗi xe.

Đặt ẩn:

– Gọi \(v_1\) (m/s) là vận tốc của xe thứ nhất.

– Gọi \(v_2\) (m/s) là vận tốc của xe thứ hai.

Điều kiện: \(v_1 > 0, v_2 > 0\). Để đơn giản, ta giả sử \(v_1 > v_2\) (để khi đi cùng chiều, xe 1 đuổi kịp xe 2).

Lập phương trình:

Chúng ta sẽ lập hai phương trình dựa trên hai trường hợp chuyển động.

1. Trường hợp đi ngược chiều:

– Khi hai xe đi ngược chiều, vận tốc tương đối của chúng là tổng các vận tốc: \(v_1 + v_2\).

– Cứ sau 15 giây thì chúng gặp nhau, nghĩa là trong 15 giây, tổng quãng đường hai xe đi được đúng bằng một chu vi đường tròn.

– Ta có công thức: Quãng đường = Vận tốc * Thời gian.

\(C = (v_1 + v_2) \times t_{ngược}\)

\(1200 = (v_1 + v_2) \times 15\)

Chia cả hai vế cho 15:

\(v_1 + v_2 = \frac{1200}{15}\)

\(v_1 + v_2 = 80\) (1)

2. Trường hợp đi cùng chiều:

– Khi hai xe đi cùng chiều, để chúng gặp nhau, xe nhanh hơn phải đi được nhiều hơn xe chậm hơn đúng một chu vi đường tròn.

– Vận tốc tương đối (vận tốc mà xe nhanh hơn đuổi kịp xe chậm hơn) là hiệu các vận tốc: \(v_1 – v_2\) (vì ta đã giả sử \(v_1 > v_2\)).

– Cứ sau 120 giây thì chúng gặp nhau, nghĩa là trong 120 giây, xe nhanh hơn đi hơn xe chậm hơn một chu vi đường tròn.

\(C = (v_1 – v_2) \times t_{cùng}\)

\(1200 = (v_1 – v_2) \times 120\)

Chia cả hai vế cho 120:

\(v_1 – v_2 = \frac{1200}{120}\)

\(v_1 – v_2 = 10\) (2)

Hệ phương trình:

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases} v_1 + v_2 = 80 \\ v_1 – v_2 = 10 \end{cases}\)

Giải hệ phương trình:

Đây là một hệ phương trình cơ bản, chúng ta có thể giải bằng phương pháp cộng đại số.

Cộng phương trình (1) và phương trình (2) lại với nhau:

\((v_1 + v_2) + (v_1 – v_2) = 80 + 10\)

\(2v_1 = 90\)

\(v_1 = \frac{90}{2}\)

\(v_1 = 45\) (m/s)

Thay \(v_1 = 45\) vào phương trình (1) để tìm \(v_2\):

\(45 + v_2 = 80\)

\(v_2 = 80 – 45\)

\(v_2 = 35\) (m/s)

Kết luận:

Vậy, vận tốc của xe thứ nhất là \(45\) m/s và vận tốc của xe thứ hai là \(35\) m/s.

Cô mong rằng các em đã hiểu rõ cách giải hai bài toán này. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức nhé!