Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán chứng minh chia hết. Đây là dạng bài rất hay gặp và đòi hỏi sự cẩn thận trong biến đổi đại số. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài 1: Chứng minh biểu thức sau chia hết cho 6 với mọi số nguyên m, n

\(P=(5m-3)(n+2)-(m+3)(5n-2)\)

Lời giải:

Để chứng minh biểu thức \(P\) chia hết cho 6, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức \(P\) về dạng \(6 \times \text{(một số nguyên)}\).

Bước 1: Khai triển và rút gọn từng tích

Ta khai triển tích đầu tiên:

\((5m-3)(n+2) = 5m(n+2) – 3(n+2)\)

\(= 5mn + 10m – 3n – 6\) \((1)\)

Tiếp theo, ta khai triển tích thứ hai:

\((m+3)(5n-2) = m(5n-2) + 3(5n-2)\)

\(= 5mn – 2m + 15n – 6\) \((2)\)

Bước 2: Thay các kết quả khai triển vào biểu thức \(P\) và rút gọn

Bây giờ, chúng ta thay \((1)\) và \((2)\) vào biểu thức \(P\):

\(P = (5mn + 10m – 3n – 6) – (5mn – 2m + 15n – 6)\)

Lưu ý quan trọng: Khi có dấu trừ đằng trước một ngoặc, chúng ta phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong ngoặc đó khi bỏ ngoặc.

\(P = 5mn + 10m – 3n – 6 – 5mn + 2m – 15n + 6\)

Bây giờ, chúng ta nhóm các hạng tử đồng dạng lại và rút gọn:

\(P = (5mn – 5mn) + (10m + 2m) + (-3n – 15n) + (-6 + 6)\)

\(P = 0 + 12m – 18n + 0\)

\(P = 12m – 18n\)

Bước 3: Đặt thừa số chung

Ta thấy cả \(12m\) và \(18n\) đều chia hết cho 6. Vậy ta có thể đặt 6 làm thừa số chung:

\(P = 6(2m – 3n)\)

Bước 4: Kết luận

Vì \(m\) và \(n\) là các số nguyên, nên \(2m\) là số nguyên và \(3n\) cũng là số nguyên. Do đó, \(2m – 3n\) là một số nguyên.

Vậy, biểu thức \(P\) có dạng \(6 \times \text{(một số nguyên)}\), điều này chứng tỏ \(P\) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên \(m, n\).

—–

Bài 2: Chứng minh với mọi số nguyên n thì

\(A=(2-n)(n^2-3n+1)+n(n^2+12)+8\) chia hết cho 5

Lời giải:

Tương tự như Bài 1, chúng ta sẽ khai triển và rút gọn biểu thức \(A\) để tìm cách đưa nó về dạng \(5 \times \text{(một số nguyên)}\).

Bước 1: Khai triển và rút gọn từng tích

Ta khai triển tích đầu tiên:

\((2-n)(n^2-3n+1) = 2(n^2-3n+1) – n(n^2-3n+1)\)

\(= (2n^2 – 6n + 2) – (n^3 – 3n^2 + n)\)

Bỏ ngoặc và đổi dấu các hạng tử trong ngoặc thứ hai:

\(= 2n^2 – 6n + 2 – n^3 + 3n^2 – n\)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

\(= -n^3 + (2n^2 + 3n^2) + (-6n – n) + 2\)

\(= -n^3 + 5n^2 – 7n + 2\) \((3)\)

Tiếp theo, ta khai triển tích thứ hai:

\(n(n^2+12) = n \cdot n^2 + n \cdot 12\)

\(= n^3 + 12n\) \((4)\)

Bước 2: Thay các kết quả khai triển vào biểu thức \(A\) và rút gọn

Bây giờ, chúng ta thay \((3)\) và \((4)\) vào biểu thức \(A\):

\(A = (-n^3 + 5n^2 – 7n + 2) + (n^3 + 12n) + 8\)

Nhóm các hạng tử đồng dạng lại và rút gọn:

\(A = (-n^3 + n^3) + 5n^2 + (-7n + 12n) + (2 + 8)\)

\(A = 0 + 5n^2 + 5n + 10\)

\(A = 5n^2 + 5n + 10\)

Bước 3: Đặt thừa số chung

Ta thấy tất cả các hạng tử \(5n^2\), \(5n\), và \(10\) đều chia hết cho 5. Vậy ta có thể đặt 5 làm thừa số chung:

\(A = 5(n^2 + n + 2)\)

Bước 4: Kết luận

Vì \(n\) là số nguyên, nên \(n^2\) là số nguyên. Do đó, \(n^2 + n + 2\) là một số nguyên.

Vậy, biểu thức \(A\) có dạng \(5 \times \text{(một số nguyên)}\), điều này chứng tỏ \(A\) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(n\).

Chúc các em học tốt và nắm vững kiến thức này nhé!