Chào em! Thầy đã nhận được yêu cầu giải bài của em và sẽ hướng dẫn em thật chi tiết nhé. Đây là một dạng bài rất hay về phương trình Diophante (phương trình nghiệm nguyên), và ở lớp 9 chúng ta sẽ thường dùng phương pháp thử các giá trị hoặc biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại.

Chúng ta cùng giải quyết bài toán này nhé!

Bài toán: Cho phương trình \(7x + 2y = 23\) có nghiệm nguyên dương là \((x_0;y_0)\). Tính tổng \(x_0^2+y_0^2\)?

Lời giải:

Từ phương trình đã cho: \(7x + 2y = 23\)

Ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\) như sau:
\(2y = 23 – 7x\)
\(y = \frac{23 – 7x}{2}\)

Vì \((x_0;y_0)\) là nghiệm nguyên dương, nên \(x\) và \(y\) phải là các số nguyên dương.

Bước 1: Tìm điều kiện của \(x\) và \(y\).

Vì \(y > 0\), ta có:
\(\frac{23 – 7x}{2} > 0\)
\(23 – 7x > 0\)
\(7x < 23\) \(x < \frac{23}{7}\) \(x < 3.28...\)
Vì \(x\) là số nguyên dương nên \(x\) chỉ có thể là các giá trị \(1, 2, 3\).
Vậy \(x \in \{1, 2, 3\}\).

Tiếp theo, vì \(y\) là số nguyên, nên \(\frac{23 – 7x}{2}\) phải là một số nguyên.
Điều này có nghĩa là \(23 – 7x\) phải là một số chẵn.
Vì \(23\) là số lẻ, để \(23 – 7x\) là số chẵn thì \(7x\) phải là số lẻ.
Vì \(7\) là số lẻ, nên \(x\) phải là số lẻ.

Kết hợp với điều kiện \(x \in \{1, 2, 3\}\) và \(x\) là số lẻ, ta suy ra \(x \in \{1, 3\}\).

Bước 2: Thử các giá trị của \(x\).

Trường hợp 1: Nếu \(x = 1\)
Thay \(x=1\) vào biểu thức của \(y\), ta được:
\(y = \frac{23 – 7 \times 1}{2} = \frac{23 – 7}{2} = \frac{16}{2} = 8\)
Kiểm tra: \(x=1\) và \(y=8\) đều là các số nguyên dương. Vậy \((1;8)\) là một nghiệm nguyên dương của phương trình.

Trường hợp 2: Nếu \(x = 3\)
Thay \(x=3\) vào biểu thức của \(y\), ta được:
\(y = \frac{23 – 7 \times 3}{2} = \frac{23 – 21}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
Kiểm tra: \(x=3\) và \(y=1\) đều là các số nguyên dương. Vậy \((3;1)\) là một nghiệm nguyên dương của phương trình.

Từ hai trường hợp trên, ta thấy có hai cặp nghiệm nguyên dương thỏa mãn phương trình là \((1;8)\) và \((3;1)\).
Tuy nhiên, đề bài hỏi “nghiệm nguyên dương là \((x_0;y_0)\)” (số ít), điều này thường ngụ ý rằng có một nghiệm được xem là chính hoặc cần được chỉ định rõ hơn (ví dụ: nghiệm có \(x\) nhỏ nhất, hoặc tổng \(x+y\) nhỏ nhất/lớn nhất…).

Trong trường hợp không có thêm điều kiện nào, ta thường chọn nghiệm với giá trị \(x\) nhỏ nhất dương. Do đó, ta sẽ chọn \((x_0;y_0) = (1;8)\).

Bước 3: Tính tổng \(x_0^2+y_0^2\).

Với \((x_0;y_0) = (1;8)\), ta có:
\(x_0^2+y_0^2 = 1^2 + 8^2\)
\(x_0^2+y_0^2 = 1 + 64\)
\(x_0^2+y_0^2 = 65\)

Vậy, tổng \(x_0^2+y_0^2\) là \(65\).

Hi vọng lời giải chi tiết này giúp em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!
Chúc em học tốt!