Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục hai bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất rất thú vị. Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép bài đầy đủ nhé!

Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức \(x^{4} + x^{2} + 1\)

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt biến phụ kết hợp với việc nhận xét tính chất của các biểu thức bậc hai.

Bước 1: Đặt biến phụ

Chúng ta nhận thấy rằng biểu thức có chứa \(x^{4}\) và \(x^{2}\). Ta có thể đặt \(y = x^{2}\).

Do \(x^{2}\) luôn luôn không âm với mọi số thực \(x\), nên ta có \(y \ge 0\).

Khi đó, biểu thức ban đầu trở thành:

\(y^{2} + y + 1\)

Bước 2: Tìm GTNN của biểu thức mới theo biến y

Bây giờ, chúng ta cần tìm GTNN của biểu thức bậc hai \(y^{2} + y + 1\) với điều kiện \(y \ge 0\).

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương:

\(y^{2} + y + 1 = (y^{2} + 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2}) – (\frac{1}{2})^{2} + 1\)

\(= (y + \frac{1}{2})^{2} – \frac{1}{4} + 1\)

\(= (y + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}\)

Vì \((y + \frac{1}{2})^{2} \ge 0\) với mọi \(y\), nên:

\((y + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} \ge 0 + \frac{3}{4}\)

\(= \frac{3}{4}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(y + \frac{1}{2} = 0\), tức là \(y = -\frac{1}{2}\).

Bước 3: Kiểm tra điều kiện của biến y và kết luận

Tuy nhiên, chúng ta đã đặt điều kiện cho \(y\) là \(y \ge 0\). Giá trị \(y = -\frac{1}{2}\) không thỏa mãn điều kiện này.

Do đó, chúng ta cần xem xét GTNN của biểu thức \( (y + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} \) trên miền \(y \ge 0\).

Hàm số \(f(y) = (y + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}\) là một parabol có đỉnh tại \(y = -\frac{1}{2}\) và bề lõm hướng lên trên. Trên miền \(y \ge 0\), hàm số này sẽ đồng biến.

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của \(f(y)\) trên miền \(y \ge 0\) sẽ đạt được tại điểm có \(y\) nhỏ nhất, tức là \(y = 0\).

Khi \(y = 0\), giá trị của biểu thức là:

\((0 + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} = (\frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\)

Bây giờ, chúng ta quay trở lại biến \(x\). \(y = x^{2}\), nên \(y = 0\) khi \(x^{2} = 0\), tức là \(x = 0\).

Kết luận: GTNN của biểu thức \(x^{4} + x^{2} + 1\) là 1, đạt được khi \(x = 0\).

Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức \(-x + \sqrt{x} – 1\)

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức này, chúng ta cũng sẽ sử dụng phương pháp đặt biến phụ và hoàn thành bình phương.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Biểu thức chứa căn bậc hai \(\sqrt{x}\), do đó điều kiện xác định là \(x \ge 0\).

Bước 2: Đặt biến phụ

Ta nhận thấy trong biểu thức có \(x\) và \(\sqrt{x}\). Chúng ta đặt \(t = \sqrt{x}\).

Do \(x \ge 0\), nên \(t = \sqrt{x} \ge 0\).

Từ \(t = \sqrt{x}\), ta có \(t^{2} = x\).

Khi đó, biểu thức ban đầu trở thành:

\(-t^{2} + t – 1\)

Bước 3: Tìm GTLN của biểu thức mới theo biến t

Bây giờ, chúng ta cần tìm GTLN của biểu thức bậc hai \(-t^{2} + t – 1\) với điều kiện \(t \ge 0\).

Chúng ta sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương:

\(-t^{2} + t – 1 = -(t^{2} – t) – 1\)

\(= -(t^{2} – 2 \cdot t \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2} – (\frac{1}{2})^{2}) – 1\)

\(= -((t – \frac{1}{2})^{2} – \frac{1}{4}) – 1\)

\(= -(t – \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4} – 1\)

\(= -(t – \frac{1}{2})^{2} – \frac{3}{4}\)

Vì \(-(t – \frac{1}{2})^{2} \le 0\) với mọi \(t\), nên:

\(-(t – \frac{1}{2})^{2} – \frac{3}{4} \le 0 – \frac{3}{4}\)

\(= -\frac{3}{4}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(t – \frac{1}{2} = 0\), tức là \(t = \frac{1}{2}\).

Bước 4: Kiểm tra điều kiện của biến t và kết luận

Chúng ta đã đặt điều kiện cho \(t\) là \(t \ge 0\). Giá trị \(t = \frac{1}{2}\) thỏa mãn điều kiện này.

Bây giờ, chúng ta quay trở lại biến \(x\). \(t = \sqrt{x}\), nên \(t = \frac{1}{2}\) khi \(\sqrt{x} = \frac{1}{2}\). Bình phương hai vế, ta được \(x = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}\).

Giá trị \(x = \frac{1}{4}\) thỏa mãn điều kiện xác định \(x \ge 0\).

Kết luận: GTLN của biểu thức \(-x + \sqrt{x} – 1\) là \(-\frac{3}{4}\), đạt được khi \(x = \frac{1}{4}\).

Các em thấy đó, với việc đặt biến phụ và hoàn thành bình phương, chúng ta có thể giải quyết các bài toán tìm GTNN, GTLN một cách hiệu quả. Các em hãy luyện tập thêm các bài tập tương tự để nắm vững hơn kiến thức này nhé!