Xin chào các em học sinh lớp 9!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về một khái niệm rất quan trọng trong Toán học, đó là Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của một biểu thức. Đặc biệt, chúng ta sẽ tập trung vào các biểu thức chứa căn bậc hai. Việc tìm ĐKXĐ giúp chúng ta biết được những giá trị nào của biến số mà tại đó biểu thức có nghĩa.

Nguyên tắc chung:

Một biểu thức có dạng \(\sqrt{A}\) (căn bậc hai của A) được xác định khi và chỉ khi biểu thức bên trong dấu căn A không âm, tức là \(A \ge 0\).

Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau giải quyết từng bài tập cụ thể nhé:

Bài 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức \(\sqrt[]{x^{2}-1}\)

Để biểu thức \(\sqrt[]{x^{2}-1}\) có nghĩa, thì biểu thức bên trong dấu căn phải không âm.

Ta có điều kiện:

\(x^{2}-1 \ge 0\)

Đây là một bất phương trình bậc hai. Để giải bất phương trình này, chúng ta có thể làm như sau:

Phân tích đa thức thành nhân tử:

\((x-1)(x+1) \ge 0\)

Để tích của hai nhân tử \((x-1)\) và \((x+1)\) không âm, có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Cả hai nhân tử đều không âm (cùng dấu dương hoặc bằng 0)

\(x-1 \ge 0\) và \(x+1 \ge 0\)
\(\Leftrightarrow x \ge 1\) và \(x \ge -1\)
Để thỏa mãn cả hai điều kiện này, ta phải có \(x \ge 1\).

Trường hợp 2: Cả hai nhân tử đều không dương (cùng dấu âm hoặc bằng 0)

\(x-1 \le 0\) và \(x+1 \le 0\)
\(\Leftrightarrow x \le 1\) và \(x \le -1\)
Để thỏa mãn cả hai điều kiện này, ta phải có \(x \le -1\).

Vậy, kết hợp cả hai trường hợp, ĐKXĐ của biểu thức là \(\mathbf{x \le -1}\) hoặc \(\mathbf{x \ge 1}\).

Bài 2: Tìm ĐKXĐ của biểu thức \(\sqrt[]{(x-1)(x-3)}\)

Để biểu thức \(\sqrt[]{(x-1)(x-3)}\) có nghĩa, thì biểu thức bên trong dấu căn phải không âm.

Ta có điều kiện:

\((x-1)(x-3) \ge 0\)

Đây cũng là một bất phương trình bậc hai, và nó đã ở dạng nhân tử rồi. Tương tự như Bài 1, chúng ta xét hai trường hợp để tích của hai nhân tử \((x-1)\) và \((x-3)\) không âm:

Trường hợp 1: Cả hai nhân tử đều không âm

\(x-1 \ge 0\) và \(x-3 \ge 0\)
\(\Leftrightarrow x \ge 1\) và \(x \ge 3\)
Để thỏa mãn cả hai điều kiện này, ta phải có \(x \ge 3\).

Trường hợp 2: Cả hai nhân tử đều không dương

\(x-1 \le 0\) và \(x-3 \le 0\)
\(\Leftrightarrow x \le 1\) và \(x \le 3\)
Để thỏa mãn cả hai điều kiện này, ta phải có \(x \le 1\).

Vậy, kết hợp cả hai trường hợp, ĐKXĐ của biểu thức là \(\mathbf{x \le 1}\) hoặc \(\mathbf{x \ge 3}\).

Bài 3: Tìm ĐKXĐ của biểu thức \(\sqrt[]{\frac{x-1}{x-2} }\)

Để biểu thức \(\sqrt[]{\frac{x-1}{x-2} }\) có nghĩa, chúng ta cần thỏa mãn hai điều kiện sau:

1. Biểu thức bên trong dấu căn phải không âm: \(\frac{x-1}{x-2} \ge 0\)

2. Mẫu số phải khác 0 (vì chúng ta không thể chia cho 0): \(x-2 \neq 0\)

Từ điều kiện thứ 2, ta có ngay: \(x \neq 2\).

Bây giờ, chúng ta giải bất phương trình \(\frac{x-1}{x-2} \ge 0\). Để một phân thức không âm, tử số và mẫu số phải cùng dấu (hoặc tử số bằng 0).

Trường hợp 1: Tử số và mẫu số cùng dấu dương (hoặc tử số bằng 0)

\(x-1 \ge 0\) và \(x-2 > 0\) (Lưu ý: mẫu số phải lớn hơn 0, không được bằng 0)
\(\Leftrightarrow x \ge 1\) và \(x > 2\)
Để thỏa mãn cả hai điều kiện này, ta phải có \(x > 2\).

Trường hợp 2: Tử số và mẫu số cùng dấu âm

\(x-1 \le 0\) và \(x-2 < 0\)
\(\Leftrightarrow x \le 1\) và \(x < 2\)
Để thỏa mãn cả hai điều kiện này, ta phải có \(x \le 1\).

Kết hợp cả hai trường hợp và điều kiện \(x \neq 2\), ĐKXĐ của biểu thức là \(\mathbf{x \le 1}\) hoặc \(\mathbf{x > 2}\).

Tổng kết:

Các em thấy đấy, việc tìm ĐKXĐ của các biểu thức căn bậc hai chủ yếu là đưa về việc giải các bất phương trình. Hãy luôn nhớ nguyên tắc cơ bản: biểu thức trong căn phải không âm. Nếu biểu thức có dạng phân thức, thì mẫu số phải khác 0 nữa nhé!

Chúc các em học tốt và nắm vững kiến thức này!