Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rất thú vị, có cả phần tính nhanh và so sánh đấy. Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép bài thật cẩn thận nhé!

Phần A: Tính nhanh

Đề bài yêu cầu chúng ta tính nhanh tổng sau:

\( S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 \)

Để tính nhanh bài toán này, chúng ta có thể sử dụng một phương pháp rất hay, đó là nhân cả hai vế với một số đặc biệt và sau đó lấy hai vế trừ đi nhau. Các em nhìn kỹ nhé:

Ta có:

\( S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 \)

Nhân cả hai vế của S với 2, ta được:

\( 2S = 2 * (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128) \)

\( 2S = 2/2 + 2/4 + 2/8 + 2/16 + 2/32 + 2/64 + 2/128 \)

\( 2S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ lấy \( 2S – S \) để xem điều gì xảy ra:

\( 2S – S = (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64) – (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128) \)

Khi thực hiện phép trừ, các phân số giống nhau ở hai vế sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại:

\( S = 1 – 1/128 \)

Cuối cùng, chúng ta thực hiện phép trừ phân số đơn giản:

\( S = 128/128 – 1/128 \)

\( S = 127/128 \)

Vậy, kết quả của phép tính nhanh này là \( 127/128 \).

Phần B: Cho M : \( 1/3 + 1/15 + 1/35 + …. + 1/143 + 1/195 \)

So sánh M với 1/2

Trước hết, chúng ta cần nhận ra quy luật của các mẫu số trong tổng M. Các mẫu số này là tích của hai số hơn kém nhau 2 đơn vị:

\( 3 = 1 * 3 \)

\( 15 = 3 * 5 \)

\( 35 = 5 * 7 \)

…

\( 143 = 11 * 13 \)

\( 195 = 13 * 15 \)

Khi nhìn thấy các phân số có dạng \( 1/(a*(a+k)) \), chúng ta có thể nghĩ đến việc tách chúng thành hiệu của hai phân số. Ở đây, \( k = 2 \).

Ta có công thức:

\( 1/(a*(a+2)) = 1/2 ( (a+2) – a ) / (a(a+2)) = 1/2 ( (a+2)/(a(a+2)) – a/(a*(a+2)) ) = 1/2 * ( 1/a – 1/(a+2) ) \)

Áp dụng công thức này vào từng số hạng của M:

\( 1/3 = 1/(1*3) = 1/2 * (1/1 – 1/3) \)

\( 1/15 = 1/(3*5) = 1/2 * (1/3 – 1/5) \)

\( 1/35 = 1/(5*7) = 1/2 * (1/5 – 1/7) \)

…

\( 1/143 = 1/(11*13) = 1/2 * (1/11 – 1/13) \)

\( 1/195 = 1/(13*15) = 1/2 * (1/13 – 1/15) \)

Bây giờ, chúng ta cộng tất cả các số hạng lại để tính M:

\( M = 1/2 (1/1 – 1/3) + 1/2 (1/3 – 1/5) + 1/2 (1/5 – 1/7) + … + 1/2 (1/11 – 1/13) + 1/2 * (1/13 – 1/15) \)

Chúng ta có thể đặt \( 1/2 \) ra làm nhân tử chung:

\( M = 1/2 * [ (1/1 – 1/3) + (1/3 – 1/5) + (1/5 – 1/7) + … + (1/11 – 1/13) + (1/13 – 1/15) ] \)

Quan sát trong dấu ngoặc vuông, chúng ta thấy đây là một dạng “chuỗi cộng có triệt tiêu” (telescoping sum). Các số hạng ở giữa sẽ lần lượt triệt tiêu nhau:

\( -1/3 \) triệt tiêu với \( +1/3 \)

\( -1/5 \) triệt tiêu với \( +1/5 \)

…

\( -1/13 \) triệt tiêu với \( +1/13 \)

Chỉ còn lại số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng trong ngoặc vuông:

\( M = 1/2 * [ 1/1 – 1/15 ] \)

Bây giờ, chúng ta thực hiện phép trừ trong ngoặc:

\( M = 1/2 * [ 15/15 – 1/15 ] \)

\( M = 1/2 * [ 14/15 ] \)

Cuối cùng, ta nhân hai phân số:

\( M = 1 14 / (2 15) \)

\( M = 14 / 30 \)

Chúng ta có thể rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho 2:

\( M = 7 / 15 \)

Bây giờ, đến bước so sánh M với 1/2:

Chúng ta cần so sánh \( 7/15 \) với \( 1/2 \).

Để so sánh hai phân số, chúng ta có thể quy đồng mẫu số hoặc quy đổi về dạng số thập phân.

Cách 1: Quy đồng mẫu số.

Mẫu số chung nhỏ nhất của 15 và 2 là 30.

\( 7/15 = (7 2) / (15 2) = 14/30 \)

\( 1/2 = (1 15) / (2 15) = 15/30 \)

So sánh \( 14/30 \) và \( 15/30 \). Ta thấy \( 14 < 15 \), do đó \( 14/30 < 15/30 \).

Vậy, \( 7/15 < 1/2 \).

Cách 2: Quy đổi về số thập phân.

\( M = 7/15 \approx 0.4667 \)

\( 1/2 = 0.5 \)

So sánh \( 0.4667 \) và \( 0.5 \). Ta thấy \( 0.4667 < 0.5 \).

Vậy, \( M < 1/2 \).

Kết luận: Giá trị của M là \( 7/15 \) và \( M < 1/2 \).

Các em thấy bài toán này có hay không nào? Phần A giúp chúng ta luyện kỹ năng tính nhanh với chuỗi cấp số nhân lùi, còn phần B là một ứng dụng rất đẹp của phương pháp tách phân số và chuỗi cộng có triệt tiêu. Các em hãy xem lại bài giảng và tự mình thực hiện lại các bước nhé. Nếu có gì chưa hiểu, các em cứ mạnh dạn hỏi cô!