Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình hình học lớp 9, liên quan đến các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng

\(\frac{AC}{AB}\) = \(\frac{Sin B}{Sin C}\)

Phân tích đề bài và Hướng dẫn giải:

Để chứng minh đẳng thức này, chúng ta cần nhớ lại định nghĩa của sin (sinus) trong tam giác vuông.

Trong một tam giác vuông, sin của một góc nhọn được định nghĩa là tỉ số giữa cạnh đối diện với góc đó và cạnh huyền.

Hãy hình dung tam giác ABC của chúng ta vuông tại A. Khi đó:

• Cạnh đối diện với góc A là BC (cũng chính là cạnh huyền).
• Cạnh đối diện với góc B là AC.
• Cạnh kề với góc B là AB.
• Cạnh đối diện với góc C là AB.
• Cạnh kề với góc C là AC.

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của \(Sin B\) và \(Sin C\) dựa trên các cạnh của tam giác ABC.

Bước 1: Tính \(Sin B\)

Góc B là một góc nhọn của tam giác vuông ABC.

Cạnh đối diện với góc B là cạnh AC.

Cạnh huyền của tam giác là BC.

Vậy, theo định nghĩa:

\(Sin B = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC}\) (1)

Bước 2: Tính \(Sin C\)

Góc C là một góc nhọn khác của tam giác vuông ABC.

Cạnh đối diện với góc C là cạnh AB.

Cạnh huyền của tam giác vẫn là BC.

Vậy, theo định nghĩa:

\(Sin C = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC}\) (2)

Bước 3: Lập tỉ số \(\frac{Sin B}{Sin C}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ lấy kết quả từ (1) và (2) để thay vào vế phải của đẳng thức cần chứng minh:

\(\frac{Sin B}{Sin C} = \frac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AB}{BC}}\)

Đây là phép chia hai phân số. Khi chia hai phân số, ta giữ nguyên phân số thứ nhất và nhân với phân số nghịch đảo của phân số thứ hai.

Tức là:

\(\frac{Sin B}{Sin C} = \frac{AC}{BC} \times \frac{BC}{AB}\)

Quan sát biểu thức này, các em có thể thấy đại lượng \(BC\) xuất hiện ở cả tử số và mẫu số. Chúng ta có thể rút gọn \(BC\).

Vậy, sau khi rút gọn, chúng ta được:

\(\frac{Sin B}{Sin C} = \frac{AC}{AB}\)

Kết luận:

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:

\(\frac{AC}{AB}\) = \(\frac{Sin B}{Sin C}\)

Điều này hoàn toàn trùng khớp với điều mà đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh.

Tóm tắt các bước giải:

1. Xác định các cạnh đối diện và cạnh huyền cho các góc B và C.
2. Áp dụng công thức \(Sin(\text{góc}) = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh huyền}}\) để tính \(Sin B\) và \(Sin C\).
3. Lập tỉ số \(\frac{Sin B}{Sin C}\) và thực hiện phép rút gọn phân số.
4. So sánh kết quả với vế trái của đẳng thức cần chứng minh.

Hy vọng qua lời giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách chứng minh và củng cố kiến thức về tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!

Chúc các em học tốt!