Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức khá thú vị. Bài toán này sẽ giúp các em ôn lại kiến thức về bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) và cách đặt ẩn phụ.

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = \frac{x^2 + y^2}{xy} + \frac{xy}{x^2 + y^2}\)

Phân tích bài toán:

Quan sát biểu thức \(P\), các em có thể thấy nó có dạng một tổng của hai số nghịch đảo nhau. Cụ thể, nếu ta đặt \(A = \frac{x^2 + y^2}{xy}\), thì biểu thức \(P\) sẽ trở thành \(P = A + \frac{1}{A}\).

Để biểu thức \(P\) có nghĩa, chúng ta cần các mẫu số khác 0. Điều này có nghĩa là \(xy \ne 0\) và \(x^2 + y^2 \ne 0\). Điều kiện \(x^2 + y^2 \ne 0\) tự động kéo theo \(x \ne 0\) hoặc \(y \ne 0\), nên chỉ cần \(x \ne 0\) và \(y \ne 0\).

Bước 1: Xác định điều kiện của các biến và giới hạn của biểu thức.

Để áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho dạng \(A + \frac{1}{A}\), chúng ta cần \(A > 0\).

Xét \(A = \frac{x^2 + y^2}{xy}\).

Chúng ta biết rằng \(x^2 + y^2 \ge 0\). Vì \(x, y \ne 0\), nên \(x^2 + y^2 > 0\).

Vậy, dấu của \(A\) phụ thuộc vào dấu của \(xy\):

• Nếu \(xy > 0\) (tức là \(x\) và \(y\) cùng dấu), thì \(A > 0\).
• Nếu \(xy < 0\) (tức là \(x\) và \(y\) khác dấu), thì \(A < 0\).

Nếu \(A < 0\), biểu thức \(P = A + \frac{1}{A}\) sẽ luôn nhỏ hơn hoặc bằng \(-2\). Cụ thể, nếu \(A\) tiến đến \(0^-\) (ví dụ \(A = -0.001\)), thì \(P\) sẽ tiến đến \(-\infty\). Trong trường hợp này, biểu thức \(P\) không có giá trị nhỏ nhất. Do bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta sẽ xét trường hợp \(x\) và \(y\) cùng dấu, tức là \(xy > 0\), khi đó \(A > 0\).

Bước 2: Biến đổi biểu thức \(A\) và tìm giá trị nhỏ nhất của nó.

Ta có \(A = \frac{x^2 + y^2}{xy}\). Vì \(xy > 0\), ta có thể tách ra thành:

\(A = \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}\)

Bây giờ, chúng ta hãy đặt \(t = \frac{x}{y}\). Vì \(x\) và \(y\) cùng dấu, nên \(\frac{x}{y} > 0\), tức là \(t > 0\).

Khi đó, \(A = t + \frac{1}{t}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(t\) và \(\frac{1}{t}\):

\(t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}}\)

\(t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt{1}\)

\(t + \frac{1}{t} \ge 2\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(t = \frac{1}{t}\), tức là \(t^2 = 1\). Vì \(t > 0\), suy ra \(t = 1\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \(A\) là 2, đạt được khi \(t = \frac{x}{y} = 1\), hay \(x = y\). (Nhớ rằng \(x, y \ne 0\)).

Từ đây, chúng ta biết rằng \(A \ge 2\).

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\).

Chúng ta có \(P = A + \frac{1}{A}\), và chúng ta đã biết \(A \ge 2\).

Hãy xét hàm số \(f(u) = u + \frac{1}{u}\) với \(u \ge 2\). Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\), chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f(u)\) trong miền \(u \ge 2\).

Chúng ta có thể kiểm tra rằng hàm số \(f(u) = u + \frac{1}{u}\) là hàm đồng biến (tức là giá trị của nó tăng lên khi \(u\) tăng lên) khi \(u \ge 1\). Điều này có nghĩa là, khi \(u\) càng lớn thì \(f(u)\) càng lớn.

Vì \(A \ge 2\), giá trị nhỏ nhất của \(P\) sẽ đạt được khi \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất của nó, tức là khi \(A = 2\).

Thay \(A = 2\) vào biểu thức \(P = A + \frac{1}{A}\):

\(P = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)

Bước 4: Xác định khi nào giá trị nhỏ nhất đạt được.

Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{5}{2}\) khi \(A = 2\).

Chúng ta đã biết \(A = 2\) khi \(t = 1\), tức là \(\frac{x}{y} = 1\), hay \(x = y\).

Kiểm tra lại: Nếu \(x = y\) (ví dụ \(x = y = 1\)), thì:

\(P = \frac{1^2 + 1^2}{1 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 1}{1^2 + 1^2} = \frac{1+1}{1} + \frac{1}{1+1} = \frac{2}{1} + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)

Kết quả này hoàn toàn phù hợp.

Kết luận:

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \(\frac{5}{2}\).

Giá trị này đạt được khi \(x = y\) (với \(x \ne 0\)).

Các em nhớ nhé, khi gặp dạng toán \(A + \frac{1}{A}\), hãy luôn kiểm tra điều kiện của \(A\). Nếu \(A\) có giới hạn (như trong bài này \(A \ge 2\)), thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức sẽ không phải là 2 mà là \(A_{min} + \frac{1}{A_{min}}\).

Chúc các em học tốt!