Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về đa thức khá thú vị. Đề bài như sau:

Cho \(P(x)\) là đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng 1 và thoả mãn

\((x ^ 3 – 3x ^ 2 + 3x – 2) P(x) = (x ^ 3 + 3x ^ 2 + 3x + 2) P(x – 1)\)

Xác định đa thức \(P(x)\).

Chúng ta sẽ phân tích và giải bài toán này một cách chi tiết.

Bước 1: Phân tích các hệ số của \(P(x)\) và \(P(x-1)\)

Phương trình đã cho là:

\((x ^ 3 – 3x ^ 2 + 3x – 2) P(x) = (x ^ 3 + 3x ^ 2 + 3x + 2) P(x – 1)\)

Hãy nhìn vào các đa thức hệ số. Chúng ta có thể nhận thấy chúng có dạng gần với khai triển của \((a \pm b)^3\).

• Đa thức ở vế trái: \(x^3 – 3x^2 + 3x – 2\).

Ta biết rằng \((x-1)^3 = x^3 – 3x^2 + 3x – 1\).

Vậy, \(x^3 – 3x^2 + 3x – 2 = (x^3 – 3x^2 + 3x – 1) – 1 = (x-1)^3 – 1^3\).

Đây là dạng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương \(a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\).

Với \(a = x-1\) và \(b = 1\), ta có:

\((x-1)^3 – 1^3 = ((x-1) – 1)((x-1)^2 + (x-1)(1) + 1^2)\)

\(= (x-2)(x^2 – 2x + 1 + x – 1 + 1)\)

\(= (x-2)(x^2 – x + 1)\).

• Đa thức ở vế phải: \(x^3 + 3x^2 + 3x + 2\).

Ta biết rằng \((x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\).

Vậy, \(x^3 + 3x^2 + 3x + 2 = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + 1 = (x+1)^3 + 1^3\).

Đây là dạng hằng đẳng thức tổng hai lập phương \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\).

Với \(a = x+1\) và \(b = 1\), ta có:

\((x+1)^3 + 1^3 = ((x+1) + 1)((x+1)^2 – (x+1)(1) + 1^2)\)

\(= (x+2)(x^2 + 2x + 1 – x – 1 + 1)\)

\(= (x+2)(x^2 + x + 1)\).

Thay các dạng phân tích được vào phương trình ban đầu, ta có:

\((x-2)(x^2 – x + 1) P(x) = (x+2)(x^2 + x + 1) P(x – 1)\) (1)

Bước 2: Tìm các nghiệm của \(P(x)\)

Vì \(P(x)\) là đa thức, ta có thể tìm các nghiệm của nó bằng cách thay các giá trị đặc biệt của \(x\) vào phương trình (1).

• Xét \(x=2\):

  Thay \(x=2\) vào (1):

  \((2-2)(2^2 – 2 + 1) P(2) = (2+2)(2^2 + 2 + 1) P(2 – 1)\)

  \(0 (3) P(2) = (4)(7) * P(1)\)

  \(0 = 28 * P(1)\)

  Điều này suy ra \(P(1) = 0\). Vậy \((x-1)\) là một thừa số của \(P(x)\).

• Xét \(x=1\):

  Thay \(x=1\) vào (1):

  \((1-2)(1^2 – 1 + 1) P(1) = (1+2)(1^2 + 1 + 1) P(1 – 1)\)

  \((-1)(1) P(1) = (3)(3) P(0)\)

  Vì \(P(1) = 0\), ta có:

  \((-1)(1)(0) = 9 P(0)\)

  \(0 = 9 P(0)\)

  Điều này suy ra \(P(0) = 0\). Vậy \(x\) là một thừa số của \(P(x)\).

• Xét \(x=0\):

  Thay \(x=0\) vào (1):

  \((0-2)(0^2 – 0 + 1) P(0) = (0+2)(0^2 + 0 + 1) P(0 – 1)\)

  \((-2)(1) P(0) = (2)(1) P(-1)\)

  Vì \(P(0) = 0\), ta có:

  \((-2)(1)(0) = 2 P(-1)\)

  \(0 = 2 P(-1)\)

  Điều này suy ra \(P(-1) = 0\). Vậy \((x+1)\) là một thừa số của \(P(x)\).

• Xét \(x=-1\):

  Thay \(x=-1\) vào (1):

  \((-1-2)((-1)^2 – (-1) + 1) P(-1) = (-1+2)((-1)^2 + (-1) + 1) P(-1 – 1)\)

  \((-3)(1+1+1) P(-1) = (1)(1-1+1) P(-2)\)

  \((-3)(3) P(-1) = (1)(1) P(-2)\)

  Vì \(P(-1) = 0\), ta có:

  \(-9(0) = P(-2)\)

  \(0 = P(-2)\)

  Điều này suy ra \(P(-2) = 0\). Vậy \((x+2)\) là một thừa số của \(P(x)\).

Từ các kết quả trên, ta biết rằng \(P(x)\) có các thừa số là \(x\), \((x-1)\), \((x+1)\), \((x+2)\).

Do đó, ta có thể viết \(P(x)\) dưới dạng:

\(P(x) = x(x-1)(x+1)(x+2) Q(x)\)

Trong đó \(Q(x)\) là một đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng 1 (vì hệ số bậc cao nhất của \(P(x)\) là 1 và của \(x(x-1)(x+1)(x+2)\) cũng là 1).

Bước 3: Xác định đa thức \(Q(x)\)

Thay \(P(x)\) vào phương trình (1):

\((x-2)(x^2 – x + 1) [x(x-1)(x+1)(x+2) Q(x)] = (x+2)(x^2 + x + 1) [(x-1)((x-1)-1)((x-1)+1)((x-1)+2) Q(x-1)]\)

Rút gọn biểu thức \(P(x-1)\):

\(P(x-1) = (x-1)(x-2)(x)(x+1) Q(x-1)\)

Bây giờ thay vào phương trình:

\((x-2)(x^2 – x + 1) x(x-1)(x+1)(x+2) Q(x) = (x+2)(x^2 + x + 1) (x-1)(x-2)(x)(x+1) Q(x-1)\)

Ta có thể chia cả hai vế cho các thừa số chung (với giả thiết \(x \neq 0, 1, -1, -2, 2\), điều này hợp lệ vì đây là đa thức):

\((x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)\) xuất hiện ở cả hai vế. Ta chia cả hai vế cho biểu thức này.

Khi đó, phương trình còn lại là:

\((x^2 – x + 1) Q(x) = (x^2 + x + 1) Q(x – 1)\)

Đây là một phương trình hàm cho \(Q(x)\).

Ta sắp xếp lại:

\(\frac{Q(x)}{Q(x-1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 – x + 1}\)

Vì \(Q(x)\) là đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng 1. Chúng ta hãy thử dự đoán dạng của \(Q(x)\).

Nếu \(Q(x)\) có dạng \(x^2 + x + 1\), thì \(Q(x-1)\) sẽ là:

\(Q(x-1) = (x-1)^2 + (x-1) + 1\)

\(= x^2 – 2x + 1 + x – 1 + 1\)

\(= x^2 – x + 1\)

Kiểm tra lại phương trình:

\(\frac{x^2 + x + 1}{x^2 – x + 1} = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 – x + 1}\)

Điều này đúng!

Đa thức \(Q(x) = x^2 + x + 1\) có hệ số bậc cao nhất là 1, phù hợp với điều kiện của chúng ta.

Vậy, \(Q(x) = x^2 + x + 1\).

Bước 4: Kết luận đa thức \(P(x)\)

Thay \(Q(x)\) trở lại biểu thức của \(P(x)\):

\(P(x) = x(x-1)(x+1)(x+2)(x^2 + x + 1)\)

Chúng ta có thể kiểm tra lại hệ số bậc cao nhất. Bậc của \(P(x)\) là \(1+1+1+1+2 = 6\). Hệ số của \(x^6\) là tích của các hệ số bậc cao nhất của từng nhân tử, tức là \(1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\), thoả mãn điều kiện đề bài.

Vậy đa thức \(P(x)\) cần tìm là:

\(P(x) = x(x-1)(x+1)(x+2)(x^2 + x + 1)\)

Chúng ta cũng có thể viết lại \(x(x+1)(x-1)(x+2)\) thành \((x^2-1)(x^2+2x)\), nhưng dạng trên là đủ và rõ ràng các nhân tử.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Chúc các em học tốt!