Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
\(\sin^2 x + m = 0\)
\(\sin^2 x + m = 0\)
Chào các em học sinh lớp 11 thân mến!
Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị về điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác. Đây là dạng bài rất quan trọng, giúp các em củng cố kiến thức về tập giá trị của hàm số lượng giác.
Đề bài: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: \( \sin^2 x + m = 0 \)
Bây giờ, chúng ta hãy cùng phân tích và tìm lời giải nhé!
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản.
Phương trình đã cho là: \( \sin^2 x + m = 0 \)
Để dễ dàng tìm điều kiện của \(m\), chúng ta sẽ chuyển \(m\) sang vế phải:
\( \sin^2 x = -m \)
Bước 2: Xác định tập giá trị của hàm số lượng giác.
Đây là phần kiến thức trọng tâm của bài toán. Các em hãy nhớ lại:
Đối với hàm số \( \sin x \), chúng ta luôn có: \( -1 \le \sin x \le 1 \)
Khi bình phương \( \sin x \), giá trị của nó sẽ luôn không âm. Cụ thể, khi \( \sin x \) nằm trong khoảng \( [-1, 1] \), thì \( \sin^2 x \) sẽ nằm trong khoảng nào?
Chính xác! Ta có: \( 0 \le \sin^2 x \le 1 \)
Điều này đúng với mọi giá trị thực của \(x\).
Bước 3: Áp dụng điều kiện có nghiệm.
Để phương trình \( \sin^2 x = -m \) có nghiệm, thì giá trị của vế phải \(-m\) phải nằm trong tập giá trị của vế trái \( \sin^2 x \).
Nói cách khác, chúng ta phải có:
\( 0 \le -m \le 1 \)
Bước 4: Giải bất đẳng thức để tìm \(m\).
Bất đẳng thức kép này có thể tách thành hai bất đẳng thức riêng biệt:
1) \( -m \ge 0 \)
Nhân cả hai vế với \(-1\) (và nhớ đổi chiều bất đẳng thức):
\( m \le 0 \)
2) \( -m \le 1 \)
Cũng nhân cả hai vế với \(-1\) (và đổi chiều bất đẳng thức):
\( m \ge -1 \)
Kết hợp hai điều kiện \( m \le 0 \) và \( m \ge -1 \), ta được tập giá trị của \(m\) là:
\( -1 \le m \le 0 \)
Kết luận:
Vậy, phương trình \( \sin^2 x + m = 0 \) có nghiệm khi và chỉ khi \( \mathbf{-1 \le m \le 0} \).
Lời khuyên của giáo viên:
Các em hãy luôn nhớ kỹ tập giá trị của các hàm số lượng giác cơ bản như \( \sin x \), \( \cos x \), \( \sin^2 x \), \( \cos^2 x \). Đây là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán về điều kiện có nghiệm, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức lượng giác.
Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!
Chúc các em học tốt!
Ans:
-Ta có:
\(\sin^2 x + m = 0\)
\(\Leftrightarrow \sin^2 x = -m\)
Vì \(0 \le \sin^2 x \le 1\) với mọi \(x\)
Phương trình có nghiệm khi:
\(0 \le -m \le 1\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases} -m \ge 0 \\ -m \le 1 \end{cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases} m \le 0 \\ m \ge -1 \end{cases}\)
\(\mathbf{\Leftrightarrow -1 \le m \le 0}\)
\(\color{#0B6623}{꧁༺}\[\color{#0F7A2F}{𝔪}\]\color{#138F3C}{𝔲}\[\color{#17A34A}{𝔃}\]\color{#2EBF5E}{𝔃}\[\color{#4DD17A}{𝔞}\]\color{#6FE095}{𝖘}\)\(\color{#8BE8AA}{༻꧂}\)
\(sin^2x + m = 0\)
\(sin^2x = -m\)
Ta có: \(sinx in [ -1 ; 1 ] => sin^2x in [ 0 ; 1 ]\)
\(hay -m in [ 0 ; 1 ] => m in [ -1 ; 0 ]\)
\(Vậy m in [ -1 ; 0 ]\) thì pt có nghiệm
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment