Chào các em học sinh!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau luyện tập một bài toán về giá trị lượng giác. Đây là một dạng bài rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán 11 của chúng ta. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài:

Cho góc \(\alpha\) thỏa mãn \(cos \alpha=\frac{3}{5}\) và \(0<\alpha<\frac{π}{2}\). Khi đó \(P=\sqrt{tan^2\alpha+2tan\alpha+1}=\) bằng…

Phân tích đề bài và định hướng giải quyết:

Đề bài cho chúng ta hai thông tin quan trọng:

1. Giá trị của \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\).
2. Khoảng của góc \(\alpha\): \(0<\alpha<\frac{π}{2}\). Điều này có nghĩa là góc \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ nhất. Trong góc phần tư thứ nhất, tất cả các giá trị lượng giác (\(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\tan \alpha\)) đều mang giá trị dương.

Chúng ta cần tính giá trị của biểu thức \(P=\sqrt{tan^2\alpha+2tan\alpha+1}\).

Quan sát kỹ biểu thức dưới dấu căn, các em có nhận ra nó quen thuộc không? Đúng vậy, nó chính là một hằng đẳng thức đáng nhớ:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)

Áp dụng vào biểu thức của chúng ta, với \(a = \tan \alpha\) và \(b = 1\), ta có:

\(\tan^2\alpha+2tan\alpha+1 = (\tan \alpha + 1)^2\)

Vậy, biểu thức \(P\) trở thành:

\(P = \sqrt{(\tan \alpha + 1)^2}\)

Và chúng ta biết rằng, \(\sqrt{x^2} = |x|\). Do đó:

\(P = |\tan \alpha + 1|\)

Để tìm giá trị cuối cùng của \(P\), nhiệm vụ của chúng ta là phải tính được giá trị của \(\tan \alpha\). Chúng ta có thể làm điều này bằng cách sử dụng các công thức lượng giác cơ bản từ \(\cos \alpha\) đã cho.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính \(\sin \alpha\).

Chúng ta sử dụng công thức lượng giác cơ bản liên hệ giữa \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\):

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

Thay giá trị \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\) vào công thức, ta được:

\(\sin^2 \alpha + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1\)

\(\sin^2 \alpha + \frac{9}{25} = 1\)

Chuyển \(\frac{9}{25}\) sang vế phải:

\(\sin^2 \alpha = 1 – \frac{9}{25}\)

\(\sin^2 \alpha = \frac{25}{25} – \frac{9}{25}\)

\(\sin^2 \alpha = \frac{16}{25}\)

Lấy căn bậc hai hai vế, ta được:

\(\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}\)

Vì đề bài cho \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) (góc phần tư thứ nhất), nên \(\sin \alpha\) phải mang giá trị dương.

Vậy, \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\).

Bước 2: Tính \(\tan \alpha\).

Chúng ta sử dụng công thức định nghĩa của \(\tan \alpha\):

\(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)

Thay các giá trị \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\) và \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\) vào công thức:

\(\tan \alpha = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}\)

\(\tan \alpha = \frac{4}{5} \times \frac{5}{3}\)

\(\tan \alpha = \frac{4}{3}\)

Bước 3: Tính giá trị của biểu thức \(P\).

Như chúng ta đã phân tích ở trên, biểu thức \(P\) có dạng \(P = |\tan \alpha + 1|\).

Bây giờ, chúng ta thay giá trị \(\tan \alpha = \frac{4}{3}\) vào biểu thức này:

\(P = \left|\frac{4}{3} + 1\right|\)

\(P = \left|\frac{4}{3} + \frac{3}{3}\right|\)

\(P = \left|\frac{7}{3}\right|\)

Vì \(\frac{7}{3}\) là một số dương, nên giá trị tuyệt đối của nó chính là nó:

\(P = \frac{7}{3}\)

Kết luận:

Vậy, với \(\cos \alpha=\frac{3}{5}\) và \(0<\alpha<\frac{π}{2}\), giá trị của biểu thức \(P=\sqrt{tan^2\alpha+2tan\alpha+1}\) là:

\(P = \frac{7}{3}\)

Các em thấy không, bài toán này không hề khó nếu chúng ta nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và biết cách biến đổi biểu thức. Điều quan trọng là phải luôn chú ý đến điều kiện của góc để xác định dấu của các giá trị lượng giác nhé!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!