Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị liên quan đến các giá trị lượng giác. Đây là dạng bài khá phổ biến, đòi hỏi sự cẩn thận và áp dụng đúng các công thức.

Đề bài: Cho \\(cos\alpha=\sqrt{5}\\). Biết giá trị của biểu thức \\(C=sin^2\alpha-sin\alpha.cos\alpha+cos^2\alpha\\) bằng \\(a-\frac{\sqrt{5}}{b}\\). với \\(a,b \in N\\). Khi đó \\(\frac{a+b}{2}\\) bằng bao nhiêu ?

Phân tích và Giải chi tiết:

Trước hết, các em cần lưu ý một điểm rất quan trọng ngay từ giả thiết đầu tiên của đề bài.

Bước 1: Phân tích giả thiết và điều chỉnh (nếu cần)

Đề bài cho: \\(cos\alpha = \sqrt{5}\\).
Chúng ta đều biết rằng, giá trị của hàm số cosin của một góc thực \\( \alpha \\) luôn nằm trong khoảng \([-1, 1]\). Tức là \\(-1 \le cos\alpha \le 1\\).
Tuy nhiên, \\(\sqrt{5} \approx 2.236\\), giá trị này lại lớn hơn 1. Điều này có nghĩa là không tồn tại góc thực \\(\alpha\\) nào mà \\(cos\alpha = \sqrt{5}\\).

Nếu chúng ta cứ tiếp tục với \\(cos\alpha = \sqrt{5}\\) thì:
\\(sin^2\alpha = 1 – cos^2\alpha = 1 – (\sqrt{5})^2 = 1 – 5 = -4\\).
Điều này sẽ dẫn đến \\(sin\alpha = \pm\sqrt{-4} = \pm 2i\\) (với \\(i\\) là đơn vị số ảo). Khi đó, biểu thức C sẽ chứa số phức, không khớp với dạng \\(a-\frac{\sqrt{5}}{b}\\) với \\(a,b \in N\\) (số tự nhiên).

Rất có thể đây là một lỗi đánh máy trong đề bài. Trong các bài toán dạng này, khi xuất hiện \\(\sqrt{5}\\) ở giả thiết và cũng xuất hiện \\(\sqrt{5}\\) trong kết quả, thường thì giá trị này được đưa vào qua tan, cot, hoặc là một phần của cos, sin (ví dụ: \\(cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}\\)).

Để bài toán có nghĩa và cho ra kết quả dạng như yêu cầu (có \\(\sqrt{5}\\) và \\(a,b \in N\\)), chúng ta sẽ giả định rằng giả thiết ban đầu đã bị viết sai và ý của đề bài là \\(tan\alpha = \sqrt{5}\\) hoặc \\(cot\alpha = \sqrt{5}\\). Xét trường hợp \\(tan\alpha = \sqrt{5}\\) là trường hợp phổ biến hơn.

Giả sử đề bài đúng phải là: Cho \\(tan\alpha = \sqrt{5}\\).

Bước 2: Rút gọn biểu thức C

Biểu thức cần tính là: \\(C=sin^2\alpha-sin\alpha.cos\alpha+cos^2\alpha\\)
Chúng ta biết công thức cơ bản: \\(sin^2\alpha+cos^2\alpha = 1\\).
Áp dụng công thức này vào biểu thức C, ta có:
\\(C = (sin^2\alpha+cos^2\alpha) – sin\alpha.cos\alpha\\)
\\(C = 1 – sin\alpha.cos\alpha\\)

Bước 3: Tính \\(sin\alpha.cos\alpha\\) từ giả thiết \\(tan\alpha = \sqrt{5}\\)

Chúng ta có \\(tan\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \sqrt{5}\\).
Từ đó, suy ra \\(sin\alpha = \sqrt{5}cos\alpha\\).

Thế vào công thức \\(sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1\\), ta được:
\\((\sqrt{5}cos\alpha)^2 + cos^2\alpha = 1\\)
\\(5cos^2\alpha + cos^2\alpha = 1\\)
\\(6cos^2\alpha = 1\\)
\\(cos^2\alpha = \frac{1}{6}\\)
\\(cos\alpha = \pm\frac{1}{\sqrt{6}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{6}\\)

Bây giờ tính \\(sin^2\alpha\\):
\\(sin^2\alpha = 1 – cos^2\alpha = 1 – \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\\)
\\(sin\alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \pm\frac{\sqrt{30}}{6}\\)

Tiếp theo, tính tích \\(sin\alpha.cos\alpha\\):
Nếu \\(tan\alpha = \sqrt{5} > 0\\), thì \\(\alpha\\) phải nằm ở góc phần tư thứ I hoặc thứ III.

• Nếu \\(\alpha\\) ở góc phần tư I: \\(sin\alpha > 0\\) và \\(cos\alpha > 0\\). Khi đó \\(sin\alpha = \frac{\sqrt{30}}{6}\\) và \\(cos\alpha = \frac{\sqrt{6}}{6}\\).
• Nếu \\(\alpha\\) ở góc phần tư III: \\(sin\alpha < 0\\) và \\(cos\alpha < 0\\). Khi đó \\(sin\alpha = -\frac{\sqrt{30}}{6}\\) và \\(cos\alpha = -\frac{\sqrt{6}}{6}\\).

Trong cả hai trường hợp, tích \\(sin\alpha.cos\alpha\\) đều dương:
\\(sin\alpha.cos\alpha = \left(\frac{\sqrt{30}}{6}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) = \frac{\sqrt{30 \cdot 6}}{36} = \frac{\sqrt{180}}{36}\\)
\\(sin\alpha.cos\alpha = \frac{\sqrt{36 \cdot 5}}{36} = \frac{6\sqrt{5}}{36} = \frac{\sqrt{5}}{6}\\)

Bước 4: Tính giá trị của biểu thức C

Thay giá trị \\(sin\alpha.cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{6}\\) vào biểu thức C đã rút gọn:
\\(C = 1 – sin\alpha.cos\alpha = 1 – \frac{\sqrt{5}}{6}\\)

Bước 5: Xác định a, b và tính \\(\frac{a+b}{2}\\)

Biểu thức C có dạng \\(a – \frac{\sqrt{5}}{b}\\).
So sánh với kết quả chúng ta vừa tính được: \\(C = 1 – \frac{\sqrt{5}}{6}\\)
Ta suy ra: \\(a = 1\\) và \\(b = 6\\).
Kiểm tra điều kiện: \\(a,b \in N\\). Đúng, \\(1 \in N\\) và \\(6 \in N\\).

Cuối cùng, tính giá trị \\(\frac{a+b}{2}\\):
\\(\frac{a+b}{2} = \frac{1+6}{2} = \frac{7}{2}\\)

Kết luận:

Mặc dù đề bài ban đầu có một lỗi nhỏ về giả thiết, nhưng bằng cách suy luận logic về cấu trúc của kết quả và bản chất của các hàm lượng giác, chúng ta đã giả định được giả thiết đúng và giải quyết bài toán một cách hoàn chỉnh.
Vậy, giá trị của \\(\frac{a+b}{2}\\) là \\(\frac{7}{2}\\).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách làm bài này nhé!