Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán liên quan đến các phép tính với căn bậc hai và rút gọn biểu thức chứa căn. Đây là những kiến thức rất quan trọng mà chúng ta đã học và cần nắm vững.

—

Bài 1: Tính giá trị biểu thức

\( \sqrt{(1-\sqrt{5})^2} – \text{căn bậc 3} \)

Các em chú ý, ở phần thứ hai của bài toán “căn bậc 3” chưa có số cụ thể bên trong. Cô sẽ giải quyết phần đầu tiên một cách chi tiết và sau đó sẽ nói rõ hơn về phần còn lại nhé!

Bước 1: Xử lý biểu thức \( \sqrt{(1-\sqrt{5})^2} \)

Để giải quyết biểu thức này, chúng ta cần nhớ một quy tắc rất quan trọng khi khai căn bậc hai của một bình phương, đó là:
Cho bất kỳ số thực \( A \), ta luôn có \( \sqrt{A^2} = |A| \).
Quy tắc này nói rằng kết quả của phép khai căn bậc hai của một bình phương luôn là giá trị tuyệt đối của biểu thức bên trong căn.

Áp dụng quy tắc này vào bài toán của chúng ta, với \( A = (1-\sqrt{5}) \), ta có:

\( \sqrt{(1-\sqrt{5})^2} = |1-\sqrt{5}| \)

Bước 2: Tính giá trị của \( |1-\sqrt{5}| \)

Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, chúng ta cần xác định xem biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối, tức là \( (1-\sqrt{5}) \), là số dương hay số âm.
Chúng ta biết rằng: \( \sqrt{4} = 2 \) và \( \sqrt{9} = 3 \). Vì \( 4 < 5 < 9 \), nên \( \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} \), tức là \( 2 < \sqrt{5} < 3 \).
Như vậy, \( \sqrt{5} \) là một số lớn hơn 1 (giá trị xấp xỉ của nó là 2.236).
Khi đó, \( 1-\sqrt{5} \) sẽ là một số âm, vì chúng ta lấy 1 trừ đi một số lớn hơn 1.
Ví dụ: \( 1 – 2.236 \approx -1.236 \), là một số âm.

Khi một biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối là số âm, chúng ta sẽ bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách đổi dấu toàn bộ biểu thức đó (nghĩa là nhân nó với -1).
Công thức là: nếu \( A < 0 \), thì \( |A| = -A \).
Áp dụng vào trường hợp của chúng ta, vì \( 1-\sqrt{5} < 0 \):

\( |1-\sqrt{5}| = -(1-\sqrt{5}) \)

Bây giờ, chúng ta mở ngoặc ra:

\( -(1-\sqrt{5}) = -1 + \sqrt{5} \)

Chúng ta thường viết số dương trước để nhìn gọn gàng hơn:

\( -1 + \sqrt{5} = \sqrt{5}-1 \)

Vậy, phần đầu tiên của biểu thức là: \( \sqrt{(1-\sqrt{5})^2} = \sqrt{5}-1 \).

Bước 3: Nhận xét về phần “căn bậc 3”

Phần “căn bậc 3” trong đề bài chưa hoàn chỉnh vì không có số nào được đặt bên trong dấu căn bậc ba. Để có thể tính toán hoặc kết hợp nó với \( \sqrt{5}-1 \), chúng ta cần biết đó là căn bậc ba của số nào (ví dụ: \( \sqrt[3]{8} \), \( \sqrt[3]{-27} \), \( \sqrt[3]{X} \), …).
Do đó, chúng ta không thể hoàn thành phép trừ này nếu không có thêm thông tin.

Kết luận cho Bài 1:
Phần đầu tiên của biểu thức là \( \sqrt{5}-1 \). Phần còn lại của biểu thức không đủ thông tin để tính toán.
Nếu đề bài chỉ yêu cầu tính \( \sqrt{(1-\sqrt{5})^2} \), thì kết quả là \( \sqrt{5}-1 \).

—

Bài 2: Rút gọn biểu thức

\( \sqrt{x^2-4x+4} \)

Bước 1: Phân tích biểu thức bên trong dấu căn

Chúng ta hãy quan sát kỹ biểu thức bên trong dấu căn: \( x^2-4x+4 \).
Các em có nhận ra đây là dạng của một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ không? Đó chính là bình phương của một hiệu: \( (A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 \).
Hãy cùng so sánh \( x^2-4x+4 \) với dạng tổng quát \( A^2 – 2AB + B^2 \):

• Phần \( A^2 \) tương ứng với \( x^2 \), vậy ta có thể suy ra \( A = x \).
• Phần \( B^2 \) tương ứng với \( 4 \). Vì \( 4 = 2^2 \), vậy ta có thể suy ra \( B = 2 \).
• Bây giờ, chúng ta kiểm tra phần giữa \( -2AB \): \( -2 \cdot x \cdot 2 = -4x \). Phần này hoàn toàn khớp với \( -4x \) trong biểu thức của chúng ta.

Vậy, chúng ta có thể kết luận rằng biểu thức \( x^2-4x+4 \) chính là \( (x-2)^2 \).

Bước 2: Thay thế vào biểu thức và rút gọn

Bây giờ chúng ta sẽ thay thế \( x^2-4x+4 \) bằng \( (x-2)^2 \) vào biểu thức ban đầu:

\( \sqrt{x^2-4x+4} = \sqrt{(x-2)^2} \)

Lại một lần nữa, chúng ta sử dụng quy tắc quan trọng đã nhắc đến ở Bài 1: \( \sqrt{A^2} = |A| \).
Áp dụng quy tắc này, với \( A = (x-2) \), ta có:

\( \sqrt{(x-2)^2} = |x-2| \)

Kết luận cho Bài 2:
Biểu thức \( \sqrt{x^2-4x+4} \) được rút gọn thành \( |x-2| \). Chúng ta không thể rút gọn thêm nữa nếu không biết giá trị cụ thể của \( x \) hoặc một khoảng giá trị của \( x \) để xác định \( x-2 \) là dương hay âm.

Hy vọng qua lời giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán liên quan đến căn bậc hai, giá trị tuyệt đối và ứng dụng hằng đẳng thức đáng nhớ. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức này nhé!