Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về phân số và số nguyên. Đây là dạng bài thường gặp trong chương trình Toán lớp 6 của chúng ta. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài cho phân số: \(B = (2m + 3)/(m+1)\)

(a) Với giá trị nào của \(m\) thì \(B\) nguyên?

Để phân số \(B\) là một số nguyên, thì tử số \((2m+3)\) phải chia hết cho mẫu số \((m+1)\).
Chúng ta sẽ biến đổi biểu thức \(B\) một chút để dễ dàng tìm giá trị của \(m\).

Ta có:
\(B = (2m + 3)/(m+1)\)
Để tử số có chứa \(m+1\), ta làm như sau:
\(2m + 3 = 2m + 2 + 1 = 2(m+1) + 1\)
Vậy, phân số \(B\) có thể viết lại là:
\(B = (2(m+1) + 1)/(m+1)\)
Chúng ta có thể tách phân số này ra thành tổng của hai phân số:
\(B = (2(m+1))/(m+1) + 1/(m+1)\)
\(B = 2 + 1/(m+1)\)

Bây giờ, chúng ta thấy rằng \(2\) là một số nguyên. Để \(B\) là một số nguyên, thì \(1/(m+1)\) cũng phải là một số nguyên.
Để \(1/(m+1)\) là số nguyên, thì \((m+1)\) phải là ước của \(1\).
Các ước của \(1\) là \(1\) và \(-1\).

Ta có hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: \(m+1 = 1\)
\(m = 1 – 1\)
\(m = 0\)

Trường hợp 2: \(m+1 = -1\)
\(m = -1 – 1\)
\(m = -2\)

Vậy, với \(m = 0\) hoặc \(m = -2\), thì phân số \(B\) sẽ là số nguyên.
Các em có thể thử lại để kiểm tra nhé:

Nếu \(m = 0\): \(B = (2*0 + 3)/(0+1) = 3/1 = 3\) (là số nguyên).
Nếu \(m = -2\): \(B = (2*(-2) + 3)/(-2+1) = (-4+3)/(-1) = -1/(-1) = 1\) (là số nguyên).

(b) Chứng minh \(B\) là phân số tối giản.

Để chứng minh phân số \(B\) là phân số tối giản, chúng ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất (ƯCLN) của tử số \((2m+3)\) và mẫu số \((m+1)\) bằng \(1\) (hoặc \(-1\)).

Gọi \(d\) là ƯCLN của \((2m+3)\) và \((m+1)\).
Điều này có nghĩa là \(d\) phải là ước của \((2m+3)\) và \(d\) cũng phải là ước của \((m+1)\).

Vì \(d\) là ước của \((m+1)\), nên \(d\) cũng là ước của \(2*(m+1)\), tức là \(d\) là ước của \((2m+2)\).

Bây giờ, chúng ta có \(d\) là ước của \((2m+3)\) và \(d\) là ước của \((2m+2)\).
Theo tính chất của ước, nếu \(d\) là ước của hai số, thì \(d\) cũng là ước của hiệu hai số đó.

Ta lấy hiệu của \((2m+3)\) và \((2m+2)\):
\((2m+3) – (2m+2) = 2m + 3 – 2m – 2 = 1\)

Vậy, \(d\) là ước của \(1\).
Ước của \(1\) chỉ có thể là \(1\) hoặc \(-1\).

Do đó, ƯCLN của \((2m+3)\) và \((m+1)\) là \(1\) (hoặc \(-1\)).
Khi ƯCLN của tử số và mẫu số bằng \(1\) (hoặc \(-1\)), thì phân số đó là phân số tối giản.

Vậy, phân số \(B = (2m + 3)/(m+1)\) luôn là phân số tối giản với mọi giá trị nguyên của \(m\) (sao cho mẫu số khác 0, tức là \(m \ne -1\)).

Hy vọng bài giải này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách làm bài tập dạng này nhé! Nếu có thắc mắc gì, các em cứ hỏi thầy (cô) nhé!