Bài toán: Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn \( \sqrt{x} + \sqrt{y} \) là số hữu tỉ. Chứng minh rằng cả x và y đều là các số chính phương.

Lời giải chi tiết:

Trước hết, chúng ta cần hiểu rõ đề bài. Đề bài cho chúng ta hai điều kiện:

1. x và y là các số nguyên dương.
2. \( \sqrt{x} + \sqrt{y} \) là một số hữu tỉ.

Nhiệm vụ của chúng ta là chứng minh rằng x và y phải là các số chính phương.

Bước 1: Biểu diễn số hữu tỉ

Vì \( \sqrt{x} + \sqrt{y} \) là số hữu tỉ, ta có thể gọi nó bằng một chữ cái, ví dụ là \( q \).

Vậy, \( \sqrt{x} + \sqrt{y} = q \), với \( q \in \mathbb{Q} \) (tập hợp các số hữu tỉ).

Bước 2: Biến đổi phương trình

Từ phương trình trên, ta có thể biến đổi như sau:

\( \sqrt{y} = q – \sqrt{x} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ bình phương cả hai vế của phương trình này:

\( (\sqrt{y})^2 = (q – \sqrt{x})^2 \)

\( y = q^2 – 2q\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 \)

\( y = q^2 – 2q\sqrt{x} + x \)

Bước 3: Tách biệt phần có chứa căn bậc hai

Chúng ta cần cô lập phần chứa \( \sqrt{x} \):

\( 2q\sqrt{x} = q^2 + x – y \)

Bây giờ, chúng ta chia cả hai vế cho \( 2q \) (lưu ý rằng \( q \) không thể bằng 0. Nếu \( q=0 \), thì \( \sqrt{x} + \sqrt{y} = 0 \), vì \( x, y \) là số nguyên dương nên điều này không thể xảy ra. Do đó \( q \neq 0 \)).

\( \sqrt{x} = \frac{q^2 + x – y}{2q} \)

Bước 4: Phân tích tính chất của \( \sqrt{x} \)

Hãy xem xét vế phải của phương trình trên:

• \( q \) là số hữu tỉ, nên \( q^2 \) cũng là số hữu tỉ.
• \( x \) và \( y \) là các số nguyên, nên \( x – y \) là số nguyên (và cũng là số hữu tỉ).
• \( q^2 + x – y \) là tổng của hai số hữu tỉ, nên nó là một số hữu tỉ.
• \( 2q \) là số hữu tỉ (vì \( q \) là số hữu tỉ và \( 2 \) là số hữu tỉ).
• Do đó, \( \frac{q^2 + x – y}{2q} \) là thương của hai số hữu tỉ, nên nó cũng là một số hữu tỉ.

Như vậy, chúng ta có \( \sqrt{x} \) là một số hữu tỉ.

Bước 5: Chứng minh x là số chính phương

Nếu \( \sqrt{x} \) là một số hữu tỉ và \( x \) là một số nguyên, thì \( x \) bắt buộc phải là một số chính phương.

Giải thích thêm: Giả sử \( \sqrt{x} = \frac{a}{b} \), với \( a, b \) là các số nguyên, \( b \neq 0 \) và phân số này tối giản (ƯCLN(a, b) = 1).

Bình phương hai vế, ta được \( x = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2} \).

Suy ra \( xb^2 = a^2 \).

Vì \( xb^2 = a^2 \), điều này có nghĩa là \( b^2 \) phải chia hết \( a^2 \). Mà \( a \) và \( b \) nguyên tố cùng nhau, nên \( b^2 \) chỉ có thể là 1.

Nếu \( b^2 = 1 \), thì \( b = 1 \) (vì \( b \) là mẫu số, ta có thể chọn \( b > 0 \)).

Khi đó, \( \sqrt{x} = \frac{a}{1} = a \), tức là \( \sqrt{x} \) là một số nguyên.

Nếu \( \sqrt{x} \) là một số nguyên, thì \( x \) chắc chắn là bình phương của một số nguyên, tức là x là số chính phương.

Bước 6: Chứng minh y là số chính phương

Chúng ta đã chứng minh được \( \sqrt{x} \) là số hữu tỉ. Quay trở lại phương trình:

\( \sqrt{y} = q – \sqrt{x} \)

Vì \( q \) là số hữu tỉ và \( \sqrt{x} \) cũng là số hữu tỉ (như chúng ta vừa chứng minh), nên hiệu \( q – \sqrt{x} \) là một số hữu tỉ.

Do đó, \( \sqrt{y} \) là một số hữu tỉ.

Tương tự như lập luận ở Bước 5, nếu \( \sqrt{y} \) là số hữu tỉ và \( y \) là một số nguyên, thì \( y \) cũng phải là một số chính phương.

Kết luận:

Vậy, với các điều kiện đã cho, chúng ta đã chứng minh được rằng cả x và y đều là các số chính phương.

Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé! Có câu hỏi nào các em cứ mạnh dạn hỏi thầy.