Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán khá thú vị liên quan đến số nguyên và số hữu tỉ nhé. Đây là một dạng bài giúp chúng ta củng cố kiến thức về căn bậc hai và tính chất của các loại số. Chúng ta cùng bắt đầu nào!

Đề bài: Tìm số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\sqrt{x} + \sqrt{x+1}\) là số hữu tỉ.

Phân tích đề bài và hướng giải quyết:

Đề bài yêu cầu chúng ta tìm số nguyên \(x\) sao cho tổng của hai căn bậc hai, \(\sqrt{x} + \sqrt{x+1}\), là một số hữu tỉ.

Một số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\) với \(a, b\) là các số nguyên và \(b \ne 0\).

Bước 1: Điều kiện để căn thức có nghĩa.

Để \(\sqrt{x}\) và \(\sqrt{x+1}\) có nghĩa, chúng ta cần:

• \(x \ge 0\)
• \(x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1\)

Kết hợp cả hai điều kiện, và vì \(x\) là số nguyên, nên \(x\) phải là số nguyên không âm, tức là \(x \ge 0\).

Bước 2: Sử dụng tính chất của số hữu tỉ.

Giả sử \(\sqrt{x} + \sqrt{x+1} = q\), trong đó \(q\) là một số hữu tỉ.

Chúng ta biết rằng, nếu tổng của hai căn bậc hai là một số hữu tỉ, thì từng căn bậc hai riêng lẻ cũng phải là số hữu tỉ. Cụ thể, nếu \(\sqrt{A} + \sqrt{B}\) là số hữu tỉ, thì \(\sqrt{A}\) và \(\sqrt{B}\) cũng phải là số hữu tỉ.

(Giải thích thêm cho học sinh lớp 7: Điều này có thể được chứng minh bằng cách chuyển vế và bình phương. Ví dụ: \(\sqrt{x+1} = q – \sqrt{x}\). Bình phương hai vế: \(x+1 = q^2 – 2q\sqrt{x} + x\). Từ đây, ta có \(2q\sqrt{x} = q^2 – 1\). Nếu \(q \ne 0\), thì \(\sqrt{x} = \frac{q^2 – 1}{2q}\). Vì \(q\) là số hữu tỉ, \(q^2-1\) và \(2q\) cũng là số hữu tỉ, nên \(\sqrt{x}\) phải là số hữu tỉ. Khi \(\sqrt{x}\) là số hữu tỉ, thì \(\sqrt{x+1} = q – \sqrt{x}\) cũng sẽ là số hữu tỉ.)

Như vậy, để \(\sqrt{x} + \sqrt{x+1}\) là số hữu tỉ, thì \(\sqrt{x}\) phải là số hữu tỉ và \(\sqrt{x+1}\) cũng phải là số hữu tỉ.

Bước 3: Điều kiện để căn bậc hai của một số nguyên là số hữu tỉ.

Với \(x\) là số nguyên và \(\sqrt{x}\) là số hữu tỉ, điều này chỉ xảy ra khi \(x\) là một số chính phương (bình phương của một số nguyên).
Tương tự, với \(x+1\) là số nguyên và \(\sqrt{x+1}\) là số hữu tỉ, điều này chỉ xảy ra khi \(x+1\) là một số chính phương.

Gọi \(x = k^2\) và \(x+1 = m^2\), với \(k, m\) là các số nguyên không âm (vì \(x \ge 0\)).

Bước 4: Giải phương trình tìm \(x\).

Thay \(x = k^2\) vào phương trình \(x+1 = m^2\), ta được:
\(k^2 + 1 = m^2\)

Chuyển vế, ta có:
\(m^2 – k^2 = 1\)

Đây là một hằng đẳng thức đáng nhớ: hiệu của hai bình phương. Chúng ta có thể phân tích thành nhân tử như sau:
\((m-k)(m+k) = 1\)

Vì \(k\) và \(m\) là các số nguyên, nên \((m-k)\) và \((m+k)\) cũng phải là các số nguyên.
Có hai trường hợp có thể xảy ra để tích của hai số nguyên bằng 1:

Trường hợp 1: Cả hai thừa số đều bằng 1.
\(\begin{cases} m-k = 1 \\ m+k = 1 \end{cases}\)

Cộng hai phương trình lại, ta được:
\((m-k) + (m+k) = 1 + 1\)
\(2m = 2\)
\(m = 1\)

Thay \(m=1\) vào phương trình \(m+k=1\), ta có:
\(1 + k = 1\)
\(k = 0\)

Với \(k=0\), ta tìm được \(x = k^2 = 0^2 = 0\).
Kiểm tra lại: Nếu \(x=0\), thì \(\sqrt{x} + \sqrt{x+1} = \sqrt{0} + \sqrt{0+1} = 0 + \sqrt{1} = 0 + 1 = 1\).
Số 1 là một số hữu tỉ (có thể viết dưới dạng \(\frac{1}{1}\)).
Vậy, \(x=0\) là một nghiệm của bài toán.

Trường hợp 2: Cả hai thừa số đều bằng -1.
\(\begin{cases} m-k = -1 \\ m+k = -1 \end{cases}\)

Cộng hai phương trình lại, ta được:
\((m-k) + (m+k) = -1 + (-1)\)
\(2m = -2\)
\(m = -1\)

Nhưng chúng ta đã xác định \(m\) là số nguyên không âm (vì \(m = \sqrt{x+1}\) và \(\sqrt{\text{một số}} \ge 0\)). Do đó, \(m=-1\) không thỏa mãn điều kiện. Trường hợp này không cho nghiệm hợp lệ.

Bước 5: Kết luận.

Từ các trường hợp trên, chúng ta chỉ tìm được một giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn điều kiện đề bài là \(x=0\).

Vậy, số nguyên \(x\) cần tìm là 0.

Hi vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách giải quyết dạng toán liên quan đến căn bậc hai và số hữu tỉ nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!

Chúc các em học tốt!