Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị về dấu của các đơn thức. Bài toán yêu cầu chúng ta xác định dấu của \(x\) khi biết hai đơn thức \(A = -5x^9y^3z^4\) và \(B = 4x^2y^5z^6\) cùng dấu, với điều kiện \(y, z \neq 0\).

Để giải bài toán này một cách chi tiết, chúng ta sẽ đi theo các bước sau:

Bước 1: Hiểu rõ điều kiện “hai đơn thức cùng dấu”.

Khi hai số (hoặc giá trị của đơn thức) cùng dấu, điều đó có nghĩa là chúng hoặc cùng dương, hoặc cùng âm. Trong cả hai trường hợp, tích của chúng sẽ luôn là một số dương (nếu cả hai đều khác 0). Ngược lại, nếu tích của chúng là số dương, thì chúng phải cùng dấu. Vì chúng ta đang tìm dấu của \(x\), điều này ngụ ý rằng các đơn thức \(A\) và \(B\) không bằng 0 (nếu \(A=B=0\), \(x=0\), và “dấu” của \(x\) không được xác định rõ ràng là dương hay âm).

Vậy, điều kiện \(A\) và \(B\) cùng dấu tương đương với: \(A \cdot B > 0\).

Bước 2: Tính tích của hai đơn thức \(A\) và \(B\).

Chúng ta có:

\(A = -5x^9y^3z^4\)

\(B = 4x^2y^5z^6\)

Tích \(A \cdot B\) sẽ là:

\(A \cdot B = (-5x^9y^3z^4) \cdot (4x^2y^5z^6)\)

Để nhân hai đơn thức, chúng ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau (cùng cơ số thì cộng số mũ):

\(A \cdot B = (-5 \cdot 4) \cdot (x^9 \cdot x^2) \cdot (y^3 \cdot y^5) \cdot (z^4 \cdot z^6)\)

\(A \cdot B = -20 \cdot x^{9+2} \cdot y^{3+5} \cdot z^{4+6}\)

\(A \cdot B = -20x^{11}y^8z^{10}\)

Bước 3: Phân tích dấu của từng thừa số trong tích \(A \cdot B\).

Chúng ta có tích \(A \cdot B = -20x^{11}y^8z^{10}\). Hãy xem xét dấu của từng thành phần:

• Hệ số \(-20\): Đây là một số âm.
• Biến \(y^8\): Vì \(y \neq 0\), nên \(y^8\) (số mũ chẵn) luôn là một số dương. (Ví dụ: \((-2)^8 = 256 > 0\), \( (3)^8 = 6561 > 0\)).
• Biến \(z^{10}\): Tương tự, vì \(z \neq 0\), nên \(z^{10}\) (số mũ chẵn) luôn là một số dương.
• Biến \(x^{11}\): Dấu của \(x^{11}\) (số mũ lẻ) sẽ phụ thuộc vào dấu của \(x\).
  • Nếu \(x > 0\), thì \(x^{11} > 0\).
  • Nếu \(x < 0\), thì \(x^{11} < 0\).
  • Nếu \(x = 0\), thì \(x^{11} = 0\).

Bước 4: Xác định dấu của \(x\) dựa trên điều kiện \(A \cdot B > 0\).

Chúng ta có \(A \cdot B = -20x^{11}y^8z^{10} > 0\).

Thay các dấu đã biết vào biểu thức:

\((\text{Số âm}) \cdot (\text{dấu của } x^{11}) \cdot (\text{Số dương}) \cdot (\text{Số dương}) > 0\)

Hay đơn giản hơn:

\(-20 \cdot x^{11} \cdot y^8 \cdot z^{10} > 0\)

Vì \(y^8 > 0\) và \(z^{10} > 0\), chúng ta có thể chia cả hai vế của bất đẳng thức cho \(y^8z^{10}\) (một số dương) mà không làm đổi chiều bất đẳng thức:

\(-20x^{11} > 0\)

Bây giờ, chúng ta cần chia cả hai vế cho \(-20\). Vì \(-20\) là một số âm, chúng ta phải đổi chiều bất đẳng thức:

\(\frac{-20x^{11}}{-20} < \frac{0}{-20}\)

\(x^{11} < 0\)

Như chúng ta đã phân tích ở Bước 3, để \(x^{11}\) có giá trị âm, thì \(x\) phải là một số âm.

Do đó, \(x < 0\).

Kết luận:

Khi hai đơn thức \(A = -5x^9y^3z^4\) và \(B = 4x^2y^5z^6\) cùng dấu (và \(y, z \neq 0\)), thì giá trị của \(x\) phải là số âm.

Các em thấy đấy, việc phân tích dấu của từng thừa số và áp dụng đúng quy tắc về dấu trong phép nhân, chia giúp chúng ta giải quyết bài toán một cách logic và chính xác. Hãy luyện tập thêm nhé!