Xin chào các em học sinh lớp 6 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về tính tổng các số hạng có quy luật nhé. Đây là một dạng bài nâng cao một chút, nhưng nếu chúng ta nắm vững phương pháp, bài toán sẽ trở nên thật dễ dàng!

Đề bài: Tính tổng \(S = 1 \cdot 4 + 4 \cdot 7 + 7 \cdot 10 + \dots + 37 \cdot 40 + 40 \cdot 43\)

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích bài toán này từng bước một nhé!

Bước 1: Phân tích quy luật của dãy số

Các em hãy quan sát kỹ các số hạng trong tổng S:

• Số hạng thứ nhất: \(1 \cdot 4\)
• Số hạng thứ hai: \(4 \cdot 7\)
• Số hạng thứ ba: \(7 \cdot 10\)
• …
• Số hạng cuối cùng: \(40 \cdot 43\)

Các em có nhận thấy điều gì đặc biệt không?

À, đúng rồi! Mỗi số hạng là tích của hai số. Và:

1. Số thứ nhất trong mỗi tích tạo thành một dãy số cách đều: \(1, 4, 7, \dots, 37, 40\). Các số này hơn kém nhau \(3\) đơn vị. (Ví dụ: \(4-1=3\), \(7-4=3\)).
2. Số thứ hai trong mỗi tích cũng tạo thành một dãy số cách đều: \(4, 7, 10, \dots, 40, 43\). Các số này cũng hơn kém nhau \(3\) đơn vị.
3. Điều đặc biệt nữa là số thứ hai của tích này lại là số thứ nhất của tích tiếp theo! (Ví dụ: số \(4\) trong \(1 \cdot 4\) là số đầu tiên của \(4 \cdot 7\)).

Bước 2: Xác định số lượng số hạng trong tổng S

Để biết tổng S có bao nhiêu số hạng, chúng ta sẽ xem xét dãy số đầu tiên của mỗi tích: \(1, 4, 7, \dots, 40\).

Đây là một dãy số cách đều với số đầu là \(1\), số cuối là \(40\) và khoảng cách giữa hai số liên tiếp là \(3\).

Số lượng số hạng \( = (\text{Số cuối} – \text{Số đầu}) \div \text{Khoảng cách} + 1\)

\( = (40 – 1) \div 3 + 1\)

\( = 39 \div 3 + 1\)

\( = 13 + 1 = 14\) số hạng.

Vậy tổng S có tất cả 14 số hạng.

Bước 3: Áp dụng “kĩ thuật đặc biệt” cho dạng toán này

Với các tổng có dạng \(a \cdot (a+d) + (a+d) \cdot (a+2d) + \dots\) (trong bài này \(d=3\)), chúng ta có một “kĩ thuật” rất hay để giải. Đó là chúng ta sẽ nhân cả tổng S với \(3 \times d\). Ở đây \(d=3\), nên \(3 \times 3 = 9\). Chúng ta sẽ nhân S với 9.

Mục đích của việc nhân với 9 là để mỗi số hạng có thể viết thành hiệu của hai biểu thức. Chúng ta hãy xem xét một số hạng bất kỳ, ví dụ: \(k \cdot (k+3)\).

Chúng ta có một công thức đặc biệt sau (các em có thể kiểm tra lại nhé!):

\(9 \cdot k \cdot (k+3) = k \cdot (k+3) \cdot (k+6) – (k-3) \cdot k \cdot (k+3)\)

Hãy thử kiểm tra với số hạng đầu tiên: \(1 \cdot 4\)

Với \(k=1\):

Vế trái: \(9 \cdot 1 \cdot 4 = 36\)

Vế phải: \(1 \cdot (1+3) \cdot (1+6) – (1-3) \cdot 1 \cdot (1+3)\)

\( = 1 \cdot 4 \cdot 7 – (-2) \cdot 1 \cdot 4\)

\( = 28 – (-8)\)

\( = 28 + 8 = 36\)

Wow! Hai vế bằng nhau, công thức này đúng rồi các em nhỉ!

Bước 4: Tính 9S bằng cách áp dụng công thức trên cho từng số hạng

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân cả tổng S với 9:

\(9S = 9 \cdot (1 \cdot 4) + 9 \cdot (4 \cdot 7) + 9 \cdot (7 \cdot 10) + \dots + 9 \cdot (37 \cdot 40) + 9 \cdot (40 \cdot 43)\)

Áp dụng công thức vừa rồi cho từng số hạng:

• Đối với \(9 \cdot (1 \cdot 4)\) (với \(k=1\)): \(1 \cdot 4 \cdot 7 – (-2) \cdot 1 \cdot 4\)
• Đối với \(9 \cdot (4 \cdot 7)\) (với \(k=4\)): \(4 \cdot 7 \cdot 10 – 1 \cdot 4 \cdot 7\)
• Đối với \(9 \cdot (7 \cdot 10)\) (với \(k=7\)): \(7 \cdot 10 \cdot 13 – 4 \cdot 7 \cdot 10\)
• …
• Đối với \(9 \cdot (37 \cdot 40)\) (với \(k=37\)): \(37 \cdot 40 \cdot 43 – 34 \cdot 37 \cdot 40\)
• Đối với \(9 \cdot (40 \cdot 43)\) (với \(k=40\)): \(40 \cdot 43 \cdot 46 – 37 \cdot 40 \cdot 43\)

Vậy, ta có:

\(9S = (1 \cdot 4 \cdot 7 – (-2) \cdot 1 \cdot 4)\)

\( + (4 \cdot 7 \cdot 10 – 1 \cdot 4 \cdot 7)\)

\( + (7 \cdot 10 \cdot 13 – 4 \cdot 7 \cdot 10)\)

\( + \dots \)

\( + (37 \cdot 40 \cdot 43 – 34 \cdot 37 \cdot 40)\)

\( + (40 \cdot 43 \cdot 46 – 37 \cdot 40 \cdot 43)\)

Các em có thấy điều gì kì diệu xảy ra không? Khi cộng tất cả các dòng này lại, các số hạng ở giữa sẽ tự động triệt tiêu cho nhau!

Ví dụ: \((+1 \cdot 4 \cdot 7)\) ở dòng thứ nhất sẽ triệt tiêu với \((-1 \cdot 4 \cdot 7)\) ở dòng thứ hai.

Tương tự, \((+4 \cdot 7 \cdot 10)\) ở dòng thứ hai sẽ triệt tiêu với \((-4 \cdot 7 \cdot 10)\) ở dòng thứ ba.

Cứ như vậy, hầu hết các số hạng sẽ bị triệt tiêu, chỉ còn lại hai số hạng ở đầu và cuối:

\(9S = (-2) \cdot 1 \cdot 4 \text{ (là phần trừ của số hạng đầu tiên)} + 40 \cdot 43 \cdot 46 \text{ (là phần được trừ của số hạng cuối cùng)}\)

\(9S = -8 + (40 \cdot 43 \cdot 46)\)

Bước 5: Thực hiện phép tính cuối cùng

Tính tích \(40 \cdot 43 \cdot 46\):

\(40 \cdot 43 = 1720\)

\(1720 \cdot 46 = 1720 \cdot (40 + 6) = 1720 \cdot 40 + 1720 \cdot 6\)

\( = 68800 + 10320 = 79120\)

Vậy, \(9S = -8 + 79120\)

\(9S = 79120 – (-8)\) (Đây là cách viết chính xác hơn khi rút gọn theo dạng \(A_{\text{cuối}} – B_{\text{đầu}}\))

\(9S = 79120 + 8\)

\(9S = 79128\)

Cuối cùng, chúng ta tìm S bằng cách chia 9S cho 9:

\(S = 79128 \div 9\)

\(S = 8792\)

Vậy, tổng của dãy số là \(8792\).

Kết luận:

Bài toán này tuy hơi phức tạp nhưng chúng ta đã dùng “kĩ thuật đặc biệt” để biến nó thành một bài toán tổng hiệu đơn giản hơn rất nhiều. Các em hãy nhớ quy luật và phương pháp này nhé. Nó rất hữu ích cho các bài toán tương tự đấy!

Chúc các em học tốt!