Chào các em học sinh lớp 8,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng giải một bài toán tìm nghiệm nguyên dương rất thú vị. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm các cặp số nguyên dương \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình:

\(3x^2 – 4xy + 2y^2 = 3 \)

Đây là một dạng bài phương trình Diophantine (phương trình nghiệm nguyên). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ cố gắng biến đổi phương trình về dạng tổng các bình phương, vì tổng các bình phương của các số nguyên thường bị chặn bởi một giá trị nhất định.

Bước 1: Biến đổi phương trình

Để tạo ra một bình phương hoàn chỉnh, ta có thể nhân cả hai vế của phương trình với một số thích hợp. Trong trường hợp này, thầy sẽ nhân cả hai vế với 3 để tạo ra \(9x^2\), giúp chúng ta dễ dàng nhóm thành \( (3x)^2 \):

\(3(3x^2 – 4xy + 2y^2) = 3(3) \)

\(9x^2 – 12xy + 6y^2 = 9 \)

Bây giờ, chúng ta hãy quan sát các hạng tử \(9x^2 – 12xy\). Đây là một phần của khai triển hằng đẳng thức \( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \). Cụ thể, nếu \( a = 3x \) thì \( a^2 = 9x^2 \). Hạng tử \( -2ab = -12xy \), suy ra \( -2(3x)b = -12xy \), do đó \( -6xb = -12xy \), và \( b = 2y \).

Vậy, ta có thể viết \(9x^2 – 12xy\) thành một phần của \( (3x – 2y)^2 \):

\( (3x – 2y)^2 = (3x)^2 – 2(3x)(2y) + (2y)^2 = 9x^2 – 12xy + 4y^2 \)

Quay lại phương trình của chúng ta:

\(9x^2 – 12xy + 6y^2 = 9 \)

Ta tách \( 6y^2 \) thành \( 4y^2 + 2y^2 \):

\( (9x^2 – 12xy + 4y^2) + 2y^2 = 9 \)

Và thay thế phần trong ngoặc bằng \( (3x – 2y)^2 \):

\( (3x – 2y)^2 + 2y^2 = 9 \)

Bước 2: Tìm giới hạn cho \(y\)

Chúng ta biết rằng \(x\) và \(y\) là các số nguyên dương. Điều này có nghĩa là \( x \ge 1 \) và \( y \ge 1 \).

Từ phương trình \( (3x – 2y)^2 + 2y^2 = 9 \):

• Vì \( (3x – 2y) \) là một số nguyên, nên \( (3x – 2y)^2 \) phải là một số chính phương và không âm (lớn hơn hoặc bằng 0).
• Vì \( y \) là số nguyên dương, nên \( y \ge 1 \). Do đó, \( y^2 \ge 1^2 = 1 \).
• Từ đó, \( 2y^2 \ge 2(1) = 2 \).

Bây giờ, ta có \( (3x – 2y)^2 + 2y^2 = 9 \). Vì \( (3x – 2y)^2 \ge 0 \), ta suy ra:

\( 2y^2 \le 9 \)

\( y^2 \le \frac{9}{2} = 4.5 \)

Vì \(y\) là số nguyên dương, các giá trị nguyên dương của \(y\) mà \( y^2 \le 4.5 \) có thể là \( y = 1 \) hoặc \( y = 2 \).

Bước 3: Xét các trường hợp của \(y\)

Trường hợp 1: \(y = 1\)

Thay \( y = 1 \) vào phương trình \( (3x – 2y)^2 + 2y^2 = 9 \), ta được:

\( (3x – 2(1))^2 + 2(1)^2 = 9 \)

\( (3x – 2)^2 + 2 = 9 \)

\( (3x – 2)^2 = 9 – 2 \)

\( (3x – 2)^2 = 7 \)

Vì 7 không phải là số chính phương (không có số nguyên nào mà bình phương của nó bằng 7), nên không có giá trị nguyên nào của \( (3x – 2) \) thỏa mãn. Do đó, trường hợp này không cho nghiệm \(x\) là số nguyên. Chúng ta loại trường hợp này.

Trường hợp 2: \(y = 2\)

Thay \( y = 2 \) vào phương trình \( (3x – 2y)^2 + 2y^2 = 9 \), ta được:

\( (3x – 2(2))^2 + 2(2)^2 = 9 \)

\( (3x – 4)^2 + 2(4) = 9 \)

\( (3x – 4)^2 + 8 = 9 \)

\( (3x – 4)^2 = 9 – 8 \)

\( (3x – 4)^2 = 1 \)

Điều này có nghĩa là \( (3x – 4) \) có thể bằng 1 hoặc -1.

• Khả năng 2a: \(3x – 4 = 1\)

\( 3x = 1 + 4 \)

\( 3x = 5 \)

\( x = \frac{5}{3} \)

Giá trị này không phải là số nguyên, nên ta loại khả năng này.

• Khả năng 2b: \(3x – 4 = -1\)

\( 3x = -1 + 4 \)

\( 3x = 3 \)

\( x = 1 \)

Giá trị này là một số nguyên dương! Chúng ta có \( x = 1 \) và \( y = 2 \).

Bước 4: Kiểm tra lại nghiệm

Với \( x = 1 \) và \( y = 2 \), cả hai đều là số nguyên dương. Chúng ta thay vào phương trình ban đầu:

\(3x^2 – 4xy + 2y^2 = 3 \)

\(3(1)^2 – 4(1)(2) + 2(2)^2 = 3 \)

\(3(1) – 8 + 2(4) = 3 \)

\(3 – 8 + 8 = 3 \)

\(3 = 3 \)

Phương trình được thỏa mãn. Vậy cặp số \( (x, y) = (1, 2) \) là nghiệm của bài toán.

Kết luận:

Vậy, cặp số nguyên dương \( (x, y) \) duy nhất thỏa mãn phương trình đã cho là \( (1, 2) \).

Thầy hy vọng bài giải chi tiết này giúp các em hiểu rõ cách trình bày và tư duy để giải quyết các bài toán dạng này nhé!

Chúc các em học tốt!