Bài toán: Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau từ hai tỉnh cách nhau 200 km và gặp nhau sau 2 giờ. Biết rằng nếu vận tốc ô tô tăng 10 km/h, vận tốc xe máy giảm 5 km/h thì vận tốc ô tô bằng hai lần vận tốc xe máy. Tính vận tốc của hai xe.

Phân tích bài toán:

Chúng ta có hai đối tượng chuyển động là ô tô và xe máy.

Hai xe đi ngược chiều nhau, khởi hành cùng lúc.

Quãng đường giữa hai tỉnh là 200 km.

Thời gian để hai xe gặp nhau là 2 giờ.

Có một điều kiện phụ liên quan đến sự thay đổi vận tốc của hai xe.

Gọi ẩn:

Để giải bài toán này, chúng ta cần đặt ẩn cho những đại lượng chưa biết. Ở đây, chúng ta cần tìm vận tốc của ô tô và xe máy.

Gọi vận tốc của ô tô là \( v_1 \) (km/h).

Gọi vận tốc của xe máy là \( v_2 \) (km/h).

Điều kiện: \( v_1 > 0 \) và \( v_2 > 0 \).

Thiết lập phương trình dựa trên các thông tin của bài toán:

Dựa vào thông tin “ô tô và xe máy khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau từ hai tỉnh cách nhau 200 km và gặp nhau sau 2 giờ”:

Khi hai vật chuyển động ngược chiều nhau và gặp nhau, tổng quãng đường mà chúng đi được bằng quãng đường ban đầu giữa chúng.

Quãng đường ô tô đi được trong 2 giờ là: \( S_1 = v_1 \times 2 \) (km).

Quãng đường xe máy đi được trong 2 giờ là: \( S_2 = v_2 \times 2 \) (km).

Ta có phương trình:

\( S_1 + S_2 = 200 \)

\( 2v_1 + 2v_2 = 200 \)

Chúng ta có thể rút gọn phương trình này bằng cách chia cả hai vế cho 2:

\( v_1 + v_2 = 100 \) (1)

Dựa vào thông tin “nếu vận tốc ô tô tăng 10 km/h, vận tốc xe máy giảm 5 km/h thì vận tốc ô tô bằng hai lần vận tốc xe máy”:

Vận tốc mới của ô tô là: \( v_1′ = v_1 + 10 \) (km/h).

Vận tốc mới của xe máy là: \( v_2′ = v_2 – 5 \) (km/h).

Theo đề bài, vận tốc ô tô mới bằng hai lần vận tốc xe máy mới:

\( v_1′ = 2 \times v_2′ \)

\( v_1 + 10 = 2(v_2 – 5) \)

Mở ngoặc và đơn giản hóa phương trình:

\( v_1 + 10 = 2v_2 – 10 \)

Chuyển các số hạng chứa ẩn về một vế và các hằng số về một vế:

\( v_1 – 2v_2 = -10 – 10 \)

\( v_1 – 2v_2 = -20 \) (2)

Giải hệ phương trình:

Bây giờ, chúng ta có một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

\( \begin{cases} v_1 + v_2 = 100 \\ v_1 – 2v_2 = -20 \end{cases} \)

Có nhiều cách để giải hệ phương trình này. Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Áp dụng phương pháp thế:

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \( v_1 \) theo \( v_2 \):

\( v_1 = 100 – v_2 \)

Thế biểu thức này vào phương trình (2):

\( (100 – v_2) – 2v_2 = -20 \)

\( 100 – v_2 – 2v_2 = -20 \)

\( 100 – 3v_2 = -20 \)

Chuyển 100 sang vế phải:

\( -3v_2 = -20 – 100 \)

\( -3v_2 = -120 \)

Chia cả hai vế cho -3:

\( v_2 = \frac{-120}{-3} \)

\( v_2 = 40 \) (km/h)

Bây giờ, chúng ta tìm \( v_1 \) bằng cách thế giá trị của \( v_2 \) vào phương trình \( v_1 = 100 – v_2 \):

\( v_1 = 100 – 40 \)

\( v_1 = 60 \) (km/h)

Kiểm tra lại điều kiện của vận tốc mới:

Vận tốc mới của ô tô: \( v_1′ = 60 + 10 = 70 \) km/h.

Vận tốc mới của xe máy: \( v_2′ = 40 – 5 = 35 \) km/h.

Ta thấy \( 70 = 2 \times 35 \), điều này khớp với điều kiện của đề bài.

Kết luận:

Vậy, vận tốc của ô tô là 60 km/h và vận tốc của xe máy là 40 km/h.

Chúc mừng các em đã hoàn thành bài toán này! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé.